Presento in questa pagina alcune considerazioni utili e generali per capire come ragionare per risolvere un problema di geometria elementare di scuola media inferiore. La procedura è applicabile, con ovvie modifiche, anche ad altri tipi di problemi elementari.
Risoluzione di un problema elementare di geometria.-
Le nozioni di base che bisogna conoscere sono, ovviamente, le proprietà delle figure geometriche elementari (quadrato, triangolo,… ecc.) e relative formule dirette e inverse che permettono di calcolare l’ area e il perimetro di una figura elementare piana e solida l’area (totale e laterale) e il volume di un solido. Possiamo dividere, per semplicità, i problemi in base al numero di formule da applicare per ottenere la risoluzione:
- Problemi che si risolvono con l’applicazione di una sola formula. Per risolvere questo tipo di problema bisogna evincere dal testo del problema qual è la formula da applicare. In questo caso, il ragionamento consiste nell’individuare la formula richiesta a partire dai dati del problema e dalla conoscenza delle proprietà elementari della figura in esame; la risoluzione consiste invece nell’applicare la formula individuata nel ragionamento, cioè nel sostituire le grandezze date nella formula con i numeri e fare i conti. E’ evidente che in questo tipo di problema i dati assegnati nel testo sono sempre sufficienti ad applicare la formula, cioè non bisogna calcolare altre quantità.
- Problemi che si risolvono con l’applicazione di due o più formule, collegate tra loro da un ragionamento.
Questo tipo di problema si risolve facendo un vero e proprio ragionamento, ossia scrivendo una serie di formule collegate tra loro e che conducono alla risoluzione. Il ragionamento inizia con una prima formula da applicare che si evince dal testo del problema e può continuare anche utilizzando le proprietà della figura geometrica in esame.
Propongo alcuni esempi per spiegare meglio la tecnica di risoluzione dei problemi suddetti. Si possono vedere anche dei video per capire meglio come procedere.
Esempio 1.1.- Problemi di geometria piana. Dato il quadrato di lato L = 10 cm, determinare l’area.
Si tratta di un problema del primo tipo, si risolve con l’applicazione di una sola formula. Qual è la formula da applicare? Si evince dal testo. Infatti, il testo chiede di calcolare l’area del quadrato.
Quindi bisogna conoscere, o ricercare, la formula dell’area del quadrato in funzione del lato (noto).
Se non si conosce tale formula il problema non si può risolvere.
La formula richiesta è:
1) $\displaystyle A=L^{2}$
e capirlo è il ragionamento elementare. Evidentemente in questo caso elementare basta ricordarsi come si calcola l’area di un quadrato o ricavare la formula da un formulario.
La risoluzione consiste nell’applicare la formula (1), cioè nel sostituire i dati, L = 10 cm, nella formula:
$\displaystyle A=L^{2}=(10\, cm)^{2}=100\, cm^{2}$
Pertanto l’area richiesta è uguale a 100 cm2
Esempio 1.2. Dato un triangolo di area A = 150 cm2 e base b = 15 cm, determinare l’altezza h.
Il problema si risolve con l’applicazione di una sola formula. Qual è la formula da applicare? Si evince dal testo. Infatti, il testo chiede di calcolare l’altezza h del triangolo. Quindi bisogna conoscere, o ricercare, la formula che esprime l’altezza h del triangolo in funzione dell’area A e della base b.
La formula richiesta è:
1) $\displaystyle h=\frac{2\cdot A}{b}$
e nel capirlo consiste il ragionamento elementare. Notiamo che la formula (1) è la formula inversa di
$\displaystyle A=\frac{b\cdot h}{2}$ .
La risoluzione del problema consiste nell’applicare la formula (1), cioè nel sostituire i dati, A = 150 cm2 e b =15 cm, nella formula:
$\displaystyle h=\frac{2\cdot 150\, cm^{2}}{15\, cm}=20\, cm$
Pertanto l’altezza richiesta è uguale a 20 cm.
Esempio 1.3. Vedi questo video per imparare il ragionamento
Esempio 1.4. Determinare l’area di un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa è 10 cm, e il cateto minore è 6 cm.
Si tratta di un problema del secondo tipo, che si risolve con l’applicazione di almeno due formule.
Qual è la prima formula che devi applicare? Si evince dal testo. Infatti, il testo chiede di calcolare l’area del triangolo rettangolo. La formula richiesta è:
1) $\displaystyle A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{c_{M}\cdot c_{m}}{2}$
ove cM , cm rappresentano rispettivamente il cateto maggiore (assunto, come è lecito, per base) e il cateto minore (assunto come altezza relativa alla base). Dunque il punto di partenza del nostro ragionamento è la formula (1). Per applicare la formula (1), e dunque risolvere il problema bisogna conoscere i due cateti.
Ora ti devi chiedere: << Conosco i due cateti? >>
La risposta è No, poiché si conosce solo il cateto minore ( cm= 6).
Pertanto, il ragionamento si sposta sul cateto maggiore cM, ossia sulla ricerca di una formula che esprime il cateto maggiore in funzione dei dati del problema (ipotenusa e cateto minore).
La formula richiesta è data dall’applicazione del teorema di Pitagora, ossia:
2) $\displaystyle c_{M}=\sqrt{i^{2}-c_{m}^{2}}$
Questa formula è effettivamente applicabile poiché si conoscono l’ipotenusa e il cateto minore (dati dal problema). Dunque il ragionamento è finito, e si riassume nelle seguenti due formule:
La risoluzione del problema si ottiene applicando in senso inverso (dall’ultima alla prima) le formule espresse nel ragionamento. Pertanto, applicando la formula (2) si calcola il cateto maggiore e quindi
con la formula (1) l’area del triangolo rettangolo:
Pertanto l’area richiesta è uguale a 24 cm2
Esempio 1.5 Determinare il perimetro di un rettangolo equivalente al triplo di un quadrato di lato L = 10 cm, sapendo che il lato del rettangolo è a = 15 cm.
Esempio 1.6.- Vedi un altro video sul mio canale Youtube
Esempio 1.7.- Vedi un altro problema con cerchio e trapezio sul mio canale Youtube
Esempio 2.1.- Problemi di geometria solida. Determinare il volume, V, di un parallelepipedo sapendo che l’altezza h è 10 cm, la diagonale d del rettangolo di base è 5 cm e un lato a della base è 3 cm.
Esempio 2.2.- Vedi un altro video sul mio canale Youtube
Esempio 2.3.- Vedi un altro video sul mio canale Youtube
Esempio 2.4.- Vedi un altro video sul mio canale Youtube
Avvertenza.- Fino a questo punto abbiamo presentato il Ragionamento e la Risoluzione di un problema come due momenti differenti. In effetti, quando non si è bravi a risolvere i problemi o quando si affronta per la prima volta lo studio dei problemi è conveniente procedere in questo modo. Successivamente con la pratica si riesce ad eseguire Ragionamento e Risoluzione contemporaneamente.
In riferimento al problema precedente (Esempio 2.1), riporto il ragionamento che si dovrebbe fare dopo aver letto con attenzione il testo del problema:
“Dato che per trovare il volume del parallelepipedo mi serve l’area di base Ab e l’altezza h (che però è nota) e dato che per trovare tale area mi servono le due dimensioni della base, inizio a trovare la dimensione b della base con il teorema di Pitagora in quanto conosco la diagonale e l’altra dimensione; quindi mi trovo l’area di base e infine trovo il volume.”
Tutto questo ragionamento si concretizza nell’applicare prima la formula (3), poi la (2) ed infine la (1).
Notiamo la differenza tra il primo modo di procedere e il secondo.
Primo modo.- Nel primo metodo non devo fare altro, dopo aver letto con attenzione il problema, che capire che si cerca il volume e quindi partire dalla formula del volume del parallelepipedo (formula che devo conoscere o non posso risolvere il problema). La formula è:
$\displaystyle V=A_{b}\cdot h$
quindi bisogna ispezionare tale formula e osservare che l’altezza h è nota e che l’area di base non si conosce. Quindi si capisce che il problema si sposta sull’area di base e pertanto devo “trovare” la formula dell’area di base del parallelepipedo.
Essendo la base del parallelepipedo un rettangolo siamo ricondotti a “trovare” la formula dell’area del rettangolo e cioè a scrivere come seconda formula:
$\displaystyle A_{b}=a\cdot b$ ( a, b dimensioni del rettangolo)
Ispezionando questa seconda formula dobbiamo riconoscere che non è nota la dimensione b e che quindi il problema si sposta su b, cioè bisogna calcolare b. Essendo b una dimensione del rettangolo di cui si conosce la diagonale (che divide il rettangolo in due triangoli rettangoli), si è indotti a pensare di calcolare b con il teorema di Pitagora.
Secondo modo. Nel secondo modo di procedere dopo attenta lettura del testo dobbiamo intuire che tutto il problema consiste nel trovare b, perché solo trovando b si può giungere a trovare il volume. In effetti, potrebbe accadere che dall’osservazione della formula del volume non si intuisca che bisogna trovare b, dato che b non appare chiaramente espresso in tale formula, ma è contenuto per così dire nella formula dell’area. In sostanza il primo modo di procedere, individuata la quantità richiesta dal problema, indica, e dovrebbe facilitare, la strada da fare per arrivare a risolvere il problema.
Il secondo modo di procedere concretizza le due fasi (Ragionamento e Risoluzione) in un’unica fase, ma necessita di una maggiore abilità del lettore.
Se non riesci a capire la risoluzione dei problemi prova a vedere dei video per capire meglio come procedere.