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Rapporto incrementale e derivata

Rapporto incrementale e derivata

1. Definizione di rapporto incrementale.
Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e siano x e x + h due punti dello stesso intervallo (a, b), in
cui la funzione assume rispettivamente i valori f(x) e f(x+h).
Si definisce incremento della variabile indipendente x il segmento P’Q’ indicato generalmente con \[h=\Delta x\] e incremento della funzione il segmento AQ indicato con \[\Delta y\].
Si chiama, quindi, rapporto incrementale della funzione il rapporto tra l’incremento della variabile dipendente e l’incremento della variabile indipendente, cioè: \[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\] con \[h=\Delta x\]

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2. Definizione di derivata.
a) Si dice derivata di una funzione y = f(x), definita nell’intervallo aperto (a, b), nel punto \[x\in (a,b)\] il valore, se esiste ed è finito del limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, cioè: \[1)\, \, \, \, \, \, \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] e si scrive \[{y}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

La derivata di una funzione si può indicare anche con uno dei seguenti simboli: \[y'(x),f'(x),f^{(1)}\left ( x \right ),Df(x),\frac{df(x)}{dx},\frac{dy(x)}{dx}\] La (1) può essere scritta equivalente mente nei seguenti modi: \[2)\, \, \, \: \: \: \: \: \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x+\Delta x \right )-f(x)}{\Delta x}\] \[3)\, \, \, \: \: \: \: \: \lim_{x\rightarrow c}\frac{f\left ( x+c \right )-f(x)}{x-c}\]

 

ove si è assunto \[\Delta x\] in luogo di h nella (2), e, nella (3), x in luogo di x + h e c in luogo di x.