1. Definizione di rapporto incrementale.
Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e siano x e x + h due punti dello stesso intervallo (a, b), in cui la funzione assume rispettivamente i valori f(x) e f(x+h).
Si definisce incremento della variabile indipendente x il segmento P’Q’ indicato generalmente con $h=\Delta x$ e incremento della funzione il segmento AQ indicato con $\Delta y$.
Si chiama, quindi, rapporto incrementale della funzione il rapporto tra l’incremento della variabile dipendente e l’incremento della variabile indipendente, cioè: \[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\] con $h=\Delta x$
2. Definizione di derivata.
a) Si dice derivata di una funzione y = f(x), definita nell’intervallo aperto (a, b), nel punto \[x\in (a,b)\] il valore, se esiste ed è finito del limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, cioè: \[1)\, \, \, \, \, \, \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] e si scrive \[{y}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
La derivata di una funzione si può indicare anche con uno dei seguenti simboli: \[y'(x),f'(x),f^{(1)}\left ( x \right ),Df(x),\frac{df(x)}{dx},\frac{dy(x)}{dx}\] La (1) può essere scritta equivalente mente nei seguenti modi: \[2)\, \, \, \: \: \: \: \: \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x+\Delta x \right )-f(x)}{\Delta x}\] \[3)\, \, \, \: \: \: \: \: \lim_{x\rightarrow c}\frac{f\left ( x+c \right )-f(x)}{x-c}\] ove si è assunto $\Delta x$ in luogo di h nella (2), e, nella (3), x in luogo di x + h e c in luogo di x.
Se poi il limite (1) è infinito si dice che la derivata è infinita, e se il limite (1) non esiste si dice che la derivata non esiste e si può considerare la derivata destra e la derivata sinistra, calcolando rispettivamente il limite per h che tende a zero da destra e da sinistra.
Esempio 1.- Calcolare la derivata della funzione $\displaystyle y=x^{3}$ nel punto x = 2.
Risoluzione
Il rapporto incrementale è $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\rightarrow \frac{\left ( x+h \right )^{3}-x^{3}}{h}$ e per x = 2 si ha:
$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\rightarrow \frac{\left ( 2+h \right )^{3}-2^{3}}{h}$
da cui sviluppando le potenze e riducendo i termini simili si ottiene
$\displaystyle \frac{\left ( 2+h \right )^{3}-2^{3}}{h}\rightarrow \frac{8+12h+6h^{2}+h^{3}-8}{h}=\frac{h^{3}+6h^{2}+12h}{h}$
e passando al limite per h che tende a zero si ottiene:
$\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{3}+6h^{2}+12h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\left ( h^{2}+6h+12 \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(h^{2}+6h+12)=0+0+12=12$
Pertanto la derivata della funzione nel punto x = 2 è 12, si scrive f ‘ (2) = 12, o y‘(2) = 12.
Esempio 2.- Calcolare la derivata della funzione $\displaystyle y=(x-1)e^{x}$ nel punto generico x.
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