Rette tangenti alla circonferenza, alla parabola, all’ellisse, all’iperbole.

Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla curva (circonferenza, parabola, ellisse, iperbole) condotte per il punto P( x, y1 ) distinguiamo due casi, evidenziati nelle figure seguenti, ove per semplicità è stata rappresentata una circonferenza, ma lo stesso avviene nel caso la curva sia una parabola, un’ellisse o un’iperbole.

1° CASO.- Il punto P appartiene alla circonferenza (o altra curva di secondo grado)
Se il punto P(x1 ; y1) appartiene alla circonferenza d’equazione\[x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\] ( fig. 1), la retta tangente t alla circonferenza passante per P, è unica. Per determinare l’equazione della retta t tangente alla circonferenza in P si può applicare la seguente formula di sdoppiamento: \[xx_{1}+yy_{1}+a\frac{x+x_{1}}{2}+b\frac{y+y_{1}}{2}+c=0\]Se al posto della circonferenza consideriamo la parabola, l’ellisse o l’iperbole l’equazione della tangente in P è rispettivamente:\[\frac{y+y_{1}}{2}=axx_{1}+b\frac{x+x_{1}}{2}+c\]

per la parabola con asse parallelo all'asse y;\[\frac{x+x}{2}=ayy_{1}+b\frac{y+y_{1}}{2}+c\] per la parabola con asse parallelo all'asse x; \[\frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1\] per l'ellisse canonica; \[\frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1\] per l'iperbole canonica.

tangenti_1


2° CASO.- Il punto P è esterno alla circonferenza (o ad altra curva di secondo grado)
Se il punto P(xy1) è esterno ( fig. 2) alla circonferenza d’equazione \[x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\] le rette tangenti alla curva e condotte per P sono due.

Per determinare le due rette tangenti si procede nel seguente modo:

  • Si considera l’equazione del fascio di rette di centro P:\[y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )\]
  • si determina  m imponendo la condizione di tangenza \[\Delta =0\]
      nell’equazione di 2° grado in x ( o in y) che scaturisce dal sistema formato dall’equazione \[y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )\] e dall’equazione della circonferenza\[x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\] .
  • Risolta l’equazione \[\Delta =0\] nell'incognita m si ottengono i due coefficienti angolari m1 , mdelle due rette tangenti.

Pertanto le tangenti alla circonferenza (in generale alla curva f(x,y) = 0), condotte per P, hanno equazioni:

\[t_{1})\,\, \, y-y_{1}=m_{1}(x-x_{1})\]
\[t_{2})\,\, \, y-y_{1}=m_{2}(x-x_{1})\]

Notiamo che il metodo esposto nel secondo caso si può applicare anche quando il punto P appartiene alla circonferenza.
Analogamente si procede se al posto della circonferenza si considera una parabola, un’ellisse o un’iperbole.

Ricordiamo che se il punto P è interno alla curva allora le rette tangenti non esistono.

Per determinare i punti di tangenza, ovvero i punti in cui le tangenti toccano la circonferenza (la curva) bisogna risolvere il sistema formato dall’equazione della curva e dalla tangente in quel punto.

Esempio 1.- Determinare l’equazione della tangente alla circonferenza \[x^{2}+y^{2}+4x+2y+1=0\]  passante per il punto O(0,0).

Se non sai risolvere il problema prova a vedere qualche mio video su Youtube

Esempio 2.- Determinare le rette tangenti alla circonferenza \[x^{2}+y^{2}+2x-4=0\]
condotte per il punto P(6,1)

Dobbiamo considerare il sistema \[\left\{\begin{matrix} y-1 &=m(x-6) \\ x^{2}+y^{2}+2x-4 &=0 \end{matrix}\right.\] e di conseguenza l’equazione di secondo grado

\[x^{2}+(mx-6m+1)^{2}+2x-4=0\Rightarrow x^{2}\left ( 1+m^{2} \right )+2x\left ( 1+m-6m^{2} \right )+36m^{2}-12m-3=0\]

nella quale imponendo la condizione di tangenza si ottiene l’equazione in m:

\[\left ( 1+m-6m^{2} \right )^{2}-\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 36m^{2}-12m-3 \right )=0\]

ossia \[22m^{2}-7m-2=0\]

risolta la quale si ottengono i due valori di m relativi alle due tangenti: m = 1/2, m = -2/11.

Dunque le due rette tangenti sono…   (dai che ci riesci da solo…)

Esempio 3.- Determinare le rette tangenti alla parabola \[y=x^{2}-2x+1\]
condotte per il punto P (0,-1)

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