Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla curva (circonferenza, parabola, ellisse, iperbole) condotte per il punto P( x1 , y1 ) distinguiamo due casi, evidenziati nelle figure seguenti, ove per semplicità è stata rappresentata una circonferenza, ma lo stesso avviene nel caso la curva sia una parabola, un’ellisse o un’iperbole.
1° CASO.- Il punto P appartiene alla circonferenza (o altra curva di secondo grado)
Se il punto P(x1 ; y1) appartiene alla circonferenza d'equazione
( fig. 1), la retta tangente t alla circonferenza passante per P, è unica. Per determinare l'equazione della retta t tangente alla circonferenza in P si può applicare la seguente formula di sdoppiamento:
Se al posto della circonferenza consideriamo la parabola, l'ellisse o l'iperbole l'equazione della tangente in P è rispettivamente:
per la parabola con asse parallelo all'asse y;per la parabola con asse parallelo all'asse x;
per l'ellisse canonica;
per l'iperbole canonica.
2° CASO.- Il punto P è esterno alla circonferenza (o ad altra curva di secondo grado)
Se il punto P(x1 ; y1) è esterno ( fig. 2) alla circonferenza d'equazione
le rette tangenti alla curva e condotte per P sono due.
Per determinare le due rette tangenti si procede nel seguente modo:
- Si considera l’equazione del fascio di rette di centro P:
- si determina m imponendo la condizione di tangenza
nell’equazione di 2° grado in x ( o in y) che scaturisce dal sistema formato dall'equazione
e dall’equazione della circonferenza
. - Risolta l'equazione
nell'incognita m
si ottengono i due coefficienti angolari m1 , m2 delle due rette tangenti.
Pertanto le tangenti alla circonferenza (in generale alla curva f(x,y) = 0), condotte per P, hanno equazioni:
Notiamo che il metodo esposto nel secondo caso si può applicare anche quando il punto P appartiene alla circonferenza.
Analogamente si procede se al posto della circonferenza si considera una parabola, un'ellisse o un'iperbole.
Ricordiamo che se il punto P è interno alla curva allora le rette tangenti non esistono.
Per determinare i punti di tangenza, ovvero i punti in cui le tangenti toccano la circonferenza (la curva) bisogna risolvere il sistema formato dall'equazione della curva e dalla tangente in quel punto.
Esempio 1.- Determinare l’equazione della tangente alla circonferenza
Se non sai risolvere il problema prova a vedere qualche mio video su Youtube
Esempio 2.- Determinare le rette tangenti alla circonferenza
condotte per il punto P(6,1)
Dobbiamo considerare il sistema
nella quale imponendo la condizione di tangenza si ottiene l'equazione in m:
ossia
risolta la quale si ottengono i due valori di m relativi alle due tangenti: m = 1/2, m = -2/11.
Dunque le due rette tangenti sono... (dai che ci riesci da solo...)
Esempio 3.- Determinare le rette tangenti alla parabola
condotte per il punto P (0,-1)