Rette tangenti alla circonferenza, alla parabola, all'ellisse, all'iperbole.

Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla curva (circonferenza, parabola, ellisse, iperbole) condotte per il punto P( x₁  , y₁ ) distinguiamo due casi, evidenziati nelle figure seguenti, ove per semplicità è stata rappresentata una circonferenza, ma lo stesso avviene nel caso la curva sia una parabola, un’ellisse o un’iperbole.

1° CASO.- Il punto P appartiene alla circonferenza (o altra curva di secondo grado)
Se il punto P(x₁ ; y₁) appartiene alla circonferenza d'equazione

$$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$$

 ( fig. 1), la retta tangente t alla circonferenza passante per P, è unica. Per determinare l'equazione della retta t tangente alla circonferenza in P si può applicare la seguente formula di sdoppiamento: 

$$xx_{1}+yy_{1}+a\frac{x+x_{1}}{2}+b\frac{y+y_{1}}{2}+c=0$$

Se al posto della circonferenza consideriamo la parabola, l'ellisse o l'iperbole l'equazione della tangente in P è rispettivamente:

$$\frac{y+y_{1}}{2}=axx_{1}+b\frac{x+x_{1}}{2}+c$$

per la parabola con asse parallelo all'asse y;

$$\frac{x+x}{2}=ayy_{1}+b\frac{y+y_{1}}{2}+c$$

 per la parabola con asse parallelo all'asse x; 

$$\frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1$$

 per l'ellisse canonica; 

$$\frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1$$

 per l'iperbole canonica.

2° CASO.- Il punto P è esterno alla circonferenza (o ad altra curva di secondo grado)
Se il punto P(x₁ ; y₁) è esterno ( fig. 2) alla circonferenza d'equazione 

$$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$$

 le rette tangenti alla curva e condotte per P sono due.

Per determinare le due rette tangenti si procede nel seguente modo:

• Si considera l’equazione del fascio di rette di centro P:

  $$y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$$

• si determina  m imponendo la condizione di tangenza

  $$\Delta =0$$

  
    nell’equazione di 2° grado in x ( o in y) che scaturisce dal sistema formato dall'equazione

  $$y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$$

   e dall’equazione della circonferenza

  $$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$$

  .
• Risolta l'equazione

  $$\Delta =0$$

   nell'incognita m si ottengono i due coefficienti angolari m1 , m2 delle due rette tangenti.

Pertanto le tangenti alla circonferenza (in generale alla curva f(x,y) = 0), condotte per P, hanno equazioni:

$$t_{1})\,\, \, y-y_{1}=m_{1}(x-x_{1})$$

$$t_{2})\,\, \, y-y_{1}=m_{2}(x-x_{1})$$

Notiamo che il metodo esposto nel secondo caso si può applicare anche quando il punto P appartiene alla circonferenza.
Analogamente si procede se al posto della circonferenza si considera una parabola, un'ellisse o un'iperbole.

Ricordiamo che se il punto P è interno alla curva allora le rette tangenti non esistono.

Per determinare i punti di tangenza, ovvero i punti in cui le tangenti toccano la circonferenza (la curva) bisogna risolvere il sistema formato dall'equazione della curva e dalla tangente in quel punto.

Esempio 1.- Determinare l’equazione della tangente alla circonferenza

$$x^{2}+y^{2}+4x+2y+1=0$$

  passante per il punto O(0,0).

Se non sai risolvere il problema prova a vedere qualche mio video su Youtube

Esempio 2.- Determinare le rette tangenti alla circonferenza 

$$x^{2}+y^{2}+2x-4=0$$

condotte per il punto P(6,1)

Dobbiamo considerare il sistema 

$$\left\{\begin{matrix} y-1 &=m(x-6) \\ x^{2}+y^{2}+2x-4 &=0 \end{matrix}\right.$$

e di conseguenza l'equazione di secondo grado

$$x^{2}+(mx-6m+1)^{2}+2x-4=0\Rightarrow x^{2}\left ( 1+m^{2} \right )+2x\left ( 1+m-6m^{2} \right )+36m^{2}-12m-3=0$$

nella quale imponendo la condizione di tangenza si ottiene l'equazione in m:

$$\left ( 1+m-6m^{2} \right )^{2}-\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 36m^{2}-12m-3 \right )=0$$

ossia

$$22m^{2}-7m-2=0$$

risolta la quale si ottengono i due valori di m relativi alle due tangenti: m = 1/2, m = -2/11.

Dunque le due rette tangenti sono...   (dai che ci riesci da solo...)

Esempio 3.- Determinare le rette tangenti alla parabola

$$y=x^{2}-2x+1$$

condotte per il punto P (0,-1)