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Riduzione di un integrale doppio a due integrazioni semplici

Riduzione di un integrale doppio a due integrazioni semplici

Il calcolo di un integrale doppio si può ridurre al calcolo di due integrazioni semplici.

Per i domini normali valgono le seguenti formule di riduzione:\[1)\, \, \, \, \, \iint_{D}^{}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy\] se il dominio è normale rispetto all’asse x;

\[2)\, \, \, \, \, \iint_{D}^{}f(x,y)dxdy=\int_{c}^{d}dy\int_{h(y)}^{k(y)}f(x,y)dx\] se il dominio è normale rispetto all’asse y.

Infatti vale il seguente:
Teorema.-Siano \[\alpha \left ( x \right )\, \, e\, \, \, \beta \left ( x \right )\] due funzioni numeriche continue nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] di R, con \[\alpha \left ( x \right )< \beta \left ( x \right )\] in ogni punto di (a,b), detto poi D il dominio normale rispetto all’asse x definito dalle limitazioni: \[D:\, \, a\leq x\leq b,\, \, \alpha \left ( x \right )\leq y\leq \beta( x)\] Sia poi f(x,y) una funzione numerica continua in D, allora sussiste la formula di riduzione indicata in (1).
Se il dominio D è normale rispetto all’asse y definito dalle limitazioni: \[D:\, \, c\leq x\leq d,\, \, h(y) \leq x\leq k(y)\] sussiste la (2).

Esempio svolto