Esempio 1. Risolvere l’equazione goniometrica \[senx=\frac{\sqrt{3}}{2},\, \, \, 0^{\circ}\leq x<360^{\circ}\]. Risolvere inoltre la stessa equazione nei seguenti tre casi:
\[-360^{\circ}\leq x<360^{\circ},\, \, -180^{\circ}\leq x<180^{\circ}, \, \, -45^{\circ}\leq x<180^{\circ}\]
Risoluzione (vedi foto)
a) Conviene costruire la figura riportata nella foto, ovvero la circonferenza goniometrica e tracciare la retta
\[y=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
che interseca la circonferenza nei punti P e P’, di conseguenza gli archi AP e AP’ sono quelli aventi il seno uguale a $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
Di conseguenza, dalla tabella dei valori fondamentali del seno, si deduce che il seno è $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ quando l’angolo vale:
$\displaystyle \alpha =60^{\circ},\, \, \, \beta =180^{\circ}-\alpha =120^{\circ}$
In definitiva le soluzioni, comprese tra 0° e 360°, dell’equazione sono 60° e 120°.
b) Cominciamo a determinare le soluzioni per \[-360^{\circ}\leq x<360^{\circ}\]
c) Determiniamo le soluzioni per \[-180^{\circ}\leq x<180^{\circ}\]
d) Determiniamo le soluzioni per \[-45^{\circ}\leq x<180^{\circ}\]
Avvertenza. Se il valore del seno non figura nella tabella fondamentale si dovrà procedere in modo leggermente diverso, il che sarà spiegato nei prossimi esempi.
Esempio 2. Risolvere le seguenti equazioni goniometriche: $\displaystyle senx=\frac{1}{5},\, \, senx=12,\, \, senx=-2$