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Scomposizione in fattori di un numero minimo comune multiplo e massimo comune divisore

Definizione di divisibilità.- Un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b, diverso da zero, se la divisione a diviso b dà resto zero.

Esempio 1.1.- Il numero 27 è divisibile per 3, perché la divisione 27 diviso 3 dà resto zero. Mentre 27 non è divisibile per 2, perché la divisione dà resto 1.

Se a è divisibile per b si può dire anche che a è multiplo di b, o che b è un divisore di a, o che b divide a o che b è un sottomultiplo di a.

Proprietà

  1. Ogni numero a è divisibile per se stesso;
  2. Pe ogni numero a i suoi divisori banali sono: 1, a;
  3. Se a divide b e b divide a allora a = b;
  4. Se c divide b e b divide a allora c divide a.

Criteri di divisibilità
Criterio generale.- Vedi definizione.

Criterio per 2.- Un numero naturale è divisibile per 2 se è pari o se finisce per zero.

Criterio per 3.- Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3.

Criterio per 5.- Un numero è divisibile per 5 se finisce per zero o 5

Criterio per 7.- Un numero è divisibile per 7 se il valore assoluto della differenza fra il numero scritto senza la sua ultima cifra (cifra delle unità) e il doppio della sua ultima cifra è zero, 7 o un multiplo di 7

Criterio pe 11.- Un numero è divisibile per 11 se la differenza (anche in valore assoluto) tra la somma delle sue cifre di posto dispari e di posto dispari è zero, undici o un multiplo di 11.

Esempio 1.2.- Il numero 50479 è divisibile per 11. Infatti la somma delle cifre di posto dispari è 5 +4+ 9 = 18, la somma delle cifre di posto pari è 0 + 7 = 7 e la diffrenza 18 – 7 è 11,

Esempio 1.3.- Il numero 3682 è divisibile per 7. Infatti 368 – 2×2 = 364 è divisibile per 7.

Esempio 1.4.- Un altro criterio di divisibilità per 7. Il numero 2436 è divisibile per 7 perché 243 + 30 = 273 è divisibile per 7. In pratica si moltiplica l’ultimo cifra 6 di 2436 per 5 (fisso) e si ottiene 30, quest’ultimo numero si somma al numero 243 ottenuto dal dato togliendo l’ultima cifra. Quindi si ottiene 243 + 30 = 273, e se quest’ultimo è divisibile per 7 anche il numero dato lo è.

Definizione di numero primo.- Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.

I numeri primi sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …

I numeri 0 e 1 non sono primi! L’unico numero primo pari è il 2.

Teorema.- I numeri primi sono infiniti

Altro sui numeri primi… Clicca qui

Teorema fondamentale dell’aritmetica.- Ogni numero naturale o è primo o si può scomporre in un prodotto di numeri primi in un unico modo ( a meno dell’ordine)

Esempio 2.1.- Il numero 6 non è primo, ma si può scrivere come $\displaystyle 6=2\cdot 3$, e i numeri 2 e 3 sono primi; il numero 40 non è primo ma si può scrivere come $\displaystyle 40=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5=2^{3}\cdot 5$, e 2 e 5 sono i fattori primi di 40. Il numero 19 invece è primo perché divisibile solo per se stesso e 1.

Per scomporre un numero in fattori primi, cioè per determinare i suoi fattori primi, si procede come nel seguente esempio.

Esempio 2.2.- Scomporre in fattori primi i seguenti numeri 24, 63, 47.
Osservato che 24 è divisibile per 2 (l’ultima cifra è pari) dividiamo 24 per 2; il risultato 12 si scrive sotto a 24 come nella figura seguente. Quindi si divide 12 per 2 e si continua fino a trovare un numero primo (nel nostro caso è 3), che si divide per se stesso trovando come risultato 1. Il numero 63 non è divisibile per 2, ma lo è per 3; quindi dividiamo per 3 e scriviamo il risultato della divisione (21) sotto a 63, come in figura; continuiamo a dividere fino a quando non troviamo un numero primo (7), che si divide ovviamente solo per se stesso.

I fattori primi di 24 sono 2 e 3, i fattori primi di 63 sono 3 e 7, mentre 47 non ammette fattori primi distinti da se stesso.
Osserviamo che la decomposizione di 24 in 4 x 6 non è una decomposizione in fattori primi perché né 4 né 6 sono primi; allo stesso modo la fattorizzazione di 63 in 9 x 7 non è in fattori primi perché 9 non è primo.

MASSIMO COMUNE DIVISORE
Def
Regola Pratica

Se due numeri a e b, non entrambi nulli, hanno come loro MCD il numero 1 allora si dicono primi tra loro o coprimi.

Esempio 3.1.- Calcolo del Massimo Comune divisore. Calcolare il MCD tra le seguenti terne di numeri: \[24,\, 96,\, 60\] \[28,\, 45,\, 49\] \[240,\, 1450,\, 400\]

Esempio 3.2.- Dati due numeri a e b diversi tra loro tali che a < b. Chi può essere il loro MCD?
Se b è multiplo di a chi è il loro MCD?

Esempio 3.3.- Dati due numeri a e b primi tra loro. Chi può essere il loro MCD?

Esempio 3.4. Metodo delle divisioni successive.- Stabilire il MCD tra i numeri 780 e 350 e tra 22734, 336. Stabilire inoltre il MCD tra 3960, 300 e 246.

MINIMO COMUNE MULTIPLO

Def
Regola Pratica

Se a = b = 0 il minimo comune multiplo tra a e b è zero.

Esempio 4.1.- Calcolo del Minimo Comune Multiplo. Calcolare il mcm tra le seguenti terne di numeri: \[36,\, 63,\, 48\] \[144,\, 234,\, 240\] \[4144,\, 1264,\, 3240\]

Esempio 4.2.- Dati due numeri a e b diversi tra loro tali che a < b. Chi può essere il loro mcm?
Se b è multiplo di a chi è il loro mcm?

Esempio 5.1.- Una regola che coinvolge il MCD e il mcm. Stabilire il mcm tra il numeri 24, 56, sapendo che il loro MCD è 8.
Si ha:

\[mcm(24,56)=\frac{24\cdot 56}{MCD(24,56)}=\frac{24\cdot 56}{8}=24\cdot 7=168\]

Infatti, vale la seguente regola:

\[mcm(a,b)=\frac{a\cdot b}{MCD(a,b)}\]

Esempio 6.1.- Problemi con il MCD e/o con il mcm. Tre ragazzi hanno rispettivamente 35, 42 e 56 palline. Vogliono fare tanti mucchietti di ugual numero di palline. Quante palline avrà ogni mucchietto? Quanti mucchietti potrà fare ogni ragazzo?

R. 7, 5, 6, 8

Esempio 6.2.- Due botti contengono rispettivamente 204 litri e 255 litri di vino. Si vogliono riempire tante damigiane della maggior capacità possibile. Quanti litri di vino deve contenere ogni damigiana?

R. 51 litri

Esempio 6.3.- Due navi da crociera partono dal porto di Napoli il 20 marzo. Una torna in porto ogni 10 giorni, l’altra ogni 12 giorni. Che giorno saranno tutti e due nuovamente insieme a Napoli?

R. 19 maggio

Esempio 6.4.- Quattro matasse di filo di ferro sono lunghe rispettivamente 48 m, 72 m, 84 m e 96 m. Si vogliono dividere in parti uguali. Quale sarà la lunghezza massima di ogni parte?

R. m 12

Esempio 6.5.- Tre autobus partono insieme dallo stesso capolinea e fanno percorsi diversi. Il primo impiega 45 minuti a compiere tutto il suo percorso, il secondo 1 ora, il terzo 75 minuti. Dopo quanto tempo si ritroveranno al capolinea insieme?

R. 15 ore

Esempio 6.6.- Tre commessi viaggiatori vivono nella stessa città. Sapendo che partono lo stesso giorno e ritornano ogni 10 giorni il primo commesso, ogni 5 il secondo e il terzo ogni 4 giorni, stabilire ogni quanti giorni si ritroveranno tutti e tre insieme.

R. 20 giorni

Esempio 6.7.- Due satelliti artificiali girano intorno alla Terra su orbite poco diverse: il primo passa ogni ora e mezzo sullo stesso punto, rispetto alla Terra, e il secondo ogni ora. Se un osservatore sulla Terra li vede tutti e due insieme per un momento, sul proprio tetto, dopo quante ore li vedrà di nuovo insieme sullo stesso tetto?

R. 180 minuti, ossia ogni 3 ore

Esempio 6.8.- Una stanza ha forma rettangolare di dimensioni 15 m e 6 m. Il proprietario di casa la vuole piastrellare con mattonelle di forma quadrata. Quale lato massimo può avere la piastrella quadrata da utilizzare?

R. 3 metri

PER L’UNIVERSITA’ O SCUOLA SUPERIORE
Le considerazioni svolte si riferiscono ora a numeri interi (Z). Le definizioni precedenti si estendono facilmente ai numeri interi.

Esempio 7.1.- Trovare il mcm e il MCD tra i seguenti numeri – 6, 15, – 30. In questo esempio i numeri di cui si vuole calcolare il MCD sono interi, ossia appartengono a Z (insieme dei numeri positivi negativi con lo zero). In base alla teoria si può stabilire che il MCD è $\displaystyle \pm 3$.
Per quanto riguarda il mcm si può stabilire che è $\displaystyle \pm 30$

Esempio 7.2.- Determinare con l’algoritmo di Euclide il MCD tra 22734 e – 336. Ricordiamo che il MCD tra a e b è lo stesso se si calcoloa tra – a, e b, o tra a e – b o tra – a e – b.

Esempio 7.3.- Teorma di Bezout.- Se $\displaystyle d$ è un MCD tra $\displaystyle a$ e $\displaystyle b$ allora esistono degli interi $\displaystyle u,v$ tali che $\displaystyle d=a\cdot u+b\cdot v$.

Esempio 7.4.- Definizione di interi coprimi: Due interi a, b, entrambi non nulli, si dicono coprimi o primi tra loro se il loro MCD = 1

Proposizioni Equivalenti

  • a e b sono coprimi;
  • 1 e -1 sono i soli divisori comuni di a e b;
  • MCD (a, b) = 1
  • Esistono due numeri interi u e v tali che 1 = au + bv

Inoltre risulta che se p è un numero primo che non divide il numero a, allora a e p sono coprimi.

Esempio 7.5.- Teorema. Siano a, b, c interi diversi da zero. Se c divide ab e se MCD (a,c) =1 allora c divide b.

Esempio 7.6.- Teorema. Se p è un numero intero primo e p divide ab, allora p divide a oppure p divide b.
Il suddetto teorma si può estendere ad un prodotto di un numero finito di termini.

Esempio 7.7.- Dimostrare che per ogni numero intero n, n ed n + 1 sono coprimi.

Esempio 7.8.- Se il MCD (a, b) = 1, allora per ogni k numero intero si ha che  MCD(a+kb, b) =1. Dimostrare

Esempio 7.9.- Per ogni numero naturale n, a divide b se e solo se a^n divide b^n. Dimostrare

Esempio 7.19.- Se gli interi a e b sono coprimi allora ab è un mcm di a e di b.

Esempio 7.11.- Se a e b sono due divisori coprimi di k, allora posto k = bk’ si verifica che a divide k’.