Si dice soluzione del sistema (1) una e-pla di numeri reali \[\lambda =\left ( \lambda _{1},\lambda _{2},…,\lambda _{m} \right )\]che sostituiti alle rispettive incognite verifica tutte le equazioni del sistema.
Un sistema si dice compatibile se ammette una soluzione,mentre si dice incompatibile se non ammette soluzioni.
Nel caso che il sistema sia compatibile può ammettere una sola soluzione o infinite soluzioni.
Ricordiamo
Due sistemi lineari, nelle stesse incognite, si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
Se un sistema presenta due (o più ) equazioni equivalenti tra loro una di esse si può trascurare senza alterare le soluzioni del sistema.
Un sistema che non presenta equazioni equivalenti si dice ridotto.
Un sistema ridotto e compatibile si dice normale.
Sistema omogeneo.
Se \[b_{i}=0\, \, \, \, \forall i=1,2,…,p\] il sistema (1) si dice omogeneo e si scrive così: \[\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+…+a_{1m}x_{m} &=0 \\ a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}+…+a_{2m}x_{m} &=0 \\ …& \\ …& \\ a_{p1}x_{1}+a_{p2}x_{2}+…+a_{pm}x_{m} & =0 \end{matrix}\right.\] Un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione banale \[0=\left ( 0,0,…,0 \right )\] e, quindi, è sempre compatibile. Inoltre, se ammette una soluzione non banale del tipo \[X=\left ( x_{1}, x_{2},…, x_{m} \right )\]ammette anche la soluzione del tipo \[h\cdot X=\left ( h\cdot x_{1}, h\cdot x_{2},…, h\cdot x_{m} \right )\]per qualsiasi valore di h, ossia, ammette infinite soluzioni.
Quindi un sistema omogeneo non può essere incompatibile, ma al più compatibile.
Il sistema lineare omogeneo (1′) si dice associato al sistema lineare (1) se si considera come dedotto dal sistema (1) sopprimendo i termini noti.
Esempio 1.- Il seguente sistema è lineare di primo grado \[\left\{\begin{matrix} 3x_{1}+ 2x_{2}-x_{3}&=0 \\ -x_{1}+ 3x_{2}-4x_{3} &=-5 \\ 5x_{1}- x_{2}+2x_{3} &= 3 \end{matrix}\right.\] non omogeneo.