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Convergenza e divergenza di una serie in base alla definizione

1) In questo numero vogliamo stabilire la convergenza o la divergenza di alcune serie in base alla definizione. Vedremo anche delle serie indeterminate.

Esempio 1.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+3)}$  è convergente e in caso affermativo calcolare la sua somma.

Risultato: S = 11/18

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+4)}$ ; Risultato: 25/48; Se non sai risolvere l’esercizio vedi il mio video sul mio canale Youtube

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+7)}$ ; Risultato: 363/980

Esempio 2.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}-1}$  è convergente e in caso affermativo calcolare la sua somma.

Esempio 3.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}-n}$ è convergente e in caso affermativo calcolare la sua somma.

Esempio 4.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\left ( 2n-1 \right )\left ( 2n+1 \right )}$  è convergente e calcolare la sua somma.

Risultato: S = 1/2

Esempio 5.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}+5n+6}$  è convergente e calcolare la sua somma.

Risultato: S = 12

Esempio 6.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )}$ è convergente e calcolare la sua somma.

Risultato: S = 1/4

Esempio 7.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty }\left ( \frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}} \right )$ è convergente e calcolare la sua somma.

Esempio 8.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty }\left ( 2^{\frac{1}{n-1}}-2^{\frac{1}{n}} \right )$ è convergente e calcolare la sua somma.

Esempio 9.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }sen\left ( n\pi \right )$ è convergente e calcolare la sua somma.

Esempio 10.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$ è convergente e calcolare la sua somma.

Esempio 11.- Stabilire se la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty }e^{\frac{1}{n}}\left [ 1-e^{-\frac{1}{n(n+1)}} \right ]$ è convergente e calcolare la sua somma.

Stabilire in base alla definizione che le seguenti serie sono divergenti

Esempio 1.- $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{12n+25}{20}$

Esempio 2.- $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{3+n}{3}$

Esempio 3.- $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\left (\frac{6n^{2}+n}{n^{2}}-\frac{1}{n} \right )$

Esempio 4.- $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }cos^{2}\left ( n\pi \right )$

Stabilire in base alla definizione che le seguenti serie sono indeterminate

Esempio 1.-$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }cos\left ( n\pi \right )$

Esempio 2.- $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }sen\left ( n\frac{\pi }{2} \right )$

Esempio 3.- $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{3}$

Esempio 4.- $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\left [ cos^{2}\left ( n\frac{\pi }{2} \right )-sen^{2}\left ( n\frac{\pi }{2} \right ) \right ]$