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Strafalcioni da evitare

 

1. Per ogni numero a diverso da zero non ha senso la seguente divisione

a : 0

Ad esempio sono senza senso le divisioni 4 : 0, 13 : 0, 3/4 : 0… ecc.
Il risultato dunque di una tale divisione non esiste, ossia l’operazione non si può eseguire;
mentre la divisione:

0 : 0

è indeterminata perché ammette infiniti risultati, ossia ogni numero è risultato di tale divisione;
ha invece significato ed ha risultato unico la divisione:

0 : a = 0

(sempre se a è un numero diverso da zero)

Così 0 : 2 = 0, 0: (-1) = 0,  0 : 3999999 = 0, 0 : (3/4) = 0…

Divisioni sbagliate. Perché 17 diviso 3 non fa 4 con il resto di 5? O perché non fa 8 con il resto di 2?

 

2. Ordine di esecuzione delle operazioni.

Esempio 1.- Il seguente conto è corretto o errato?

3 + 5 × 4 = 32.

Errato:
Eseguendo prima l’addizione non abbiamo rispettato l’ordine di esecuzione delle operazioni. Infatti, in una espressione senza parentesi bisogna eseguire sempre prima la moltiplicazione e poi l’addizione. Il risultato corretto è 3+20 = 23.
Se si vuole che si esegua prima l’addizione bisogna chiaramente indicarlo con l’uso delle parentesi, cioè scrivere

(3 + 5) × 4 = 32.

Esempio 2.-  Il seguente conto 20 : 2 × 5 = 2 è corretto o errato?

Errato:
Eseguendo prima la moltiplicazione non abbiamo rispettato l’ordine di esecuzione delle operazioni.
Infatti, in una espressione senza parentesi tra divisione e moltiplicazione si esegue per prima l’operazione che è indicata per prima secondo il verso di scrittura sinistra destra. Il risultato corretto è

10× 5 = 50.

Se si vuole che si esegua prima la moltiplicazione bisogna chiaramente indicarlo con l’uso delle parentesi,cioè scrivere

20 : (2 × 5) = 20 : 10 = 2

3.- Operazioni in N e in Z.
Esempio 1.-
Eseguire in N e in Z il calcolo: 8 + 7 – 9.

In N, insieme dei numeri naturali, è corretto procedere nel seguente modo:

8 + 7 – 9 = 15 – 9 = 6

mentre è errato tentare di eseguire prima la sottrazione 7 – 9 che non è possibile in N in quanto il sottraendo (9) è più grande del minuendo (7).

In Z, insieme dei numeri interi, invece si può procedere in due modi:

8 + 7 – 9 = 15 – 9 = 6

8 + 7 – 9 = 8 + (- 2 ) = 8 – 2 = + 6 = 6

Quindi possiamo affermare che in N bisogna eseguire, tra addizione e sottrazione, sempre l’operazione che si incontra per prima secondo l’ordine di scrittura sinistra destra, mentre in Z è indifferente.

4.- Operazioni in Q.-
Esempio 1.-
Eseguire in $\displaystyle Q^{+}$ e in Q il calcolo: 3/2 + 1/2 – 2/3

In $\displaystyle Q^{+}$ si ha:

3/2 + 1/2 – 2/3 = (3/2 + 1/2) – 2/3 = 2 – 2/3 = 4/3 (corretto)

3/2 + 1/2 – 2/3 = 3/2 + (1/2 – 2/3) =… errato perché 1/2 – 2/3 non è possibile in Q+

3/2 + 1/2 – 2/3 = (9 + 3 – 4 ) / 6 = (12 – 4 ) / 6 = 4/3 (corretto)

In Q si ha:

3/2 + 1/2 – 2/3 = (3/2 + 1/2) – 2/3 = 2 – 2/3 = 4/3 (corretto)

3/2 + 1/2 – 2/3 = 3/2 + (1/2 – 2/3) = 3/2 + (3 – 4)/6 = 3/2 + ( – 1)/6 = 3/2 + ( – 1)/6 =
= 3/2 – 1/6 = (9 – 1)/6 = 4/3 (corretto)

3/2 + 1/2 – 2/3 = (9 + 3 – 4 ) / 6 = (12 – 4 ) / 6 = 4/3 (corretto)

5.- Eseguire il conto: 4 × 3^2 + 2

4 × 3^2 + 2 = 4 × 9 + 2 = 36 + 2 = 38 (corretto)

4 × 3^2 + 2 = 12^2 + 2 = 144 + 2 = 146 errato perché la
potenza 3^2 ha la precedenza sulla moltiplicazione

6. Il “cammino” del segno meno.

\[-\frac{1}{3}=\frac{-1}{3}=\frac{1}{-3}\neq \frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}=+\frac{1}{3}\]

\[-\frac{a+b}{3c}=\frac{-a-b}{3c}=\frac{a+b}{-3c}\]

cioè il segno meno davanti alla linea di frazione può essere trasportato solo al numeratore o soltanto al denominatore ma non in entrambi in quanto la frazione diventerebbe positiva.
Generalmente non si trova il segno meno al denominatore (anche se è corretto) poiché si tende a tenere i denominatori positivi (E’ un fatto di comodità di calcolo)

7. Se una frazione moltiplica un valore letterale a, non nullo, si ha che:

\[\frac{a}{3}=\frac{1}{3}a\neq \frac{1}{3a}\]

cioè la lettera a si può scrivere al numeratore o in corrispondenza della linea di frazione ma non al denominatore.

8. Nella semplificazione di una frazione si può semplificar un fattore che figura al numeratore e al denominatore e non un addendo che figuri in entrambi. Pertanto si ha:

\[\frac{4\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{4}{3}\]

Corretto: è lecito semplificare il fattore 7;

\[\frac{4+ 7}{3+ 7}=\frac{4}{3}\]

Errato: non si può semplificare l’addendo 7.

9. Semplificazioni errate e corrette

\[\frac{2a+6x^{2}}{4}=\frac{2(a+3x^{2})}{4}=\frac{a+3x^{2}}{2}\]

Corretto: è lecito semplificare il fattore 2 con il 4 del denominatore, dopo averlo raccolto a fattor comune.

E’ invece errato la seguente semplificazione \[\frac{2a+1}{4}=\frac{a+1}{2}\] :
Infatti non è lecito semplificare il fattore 2 dell’addendo 2a con il 4 del denominatore.

Strafalcioni da evitare – Radicali

1. Semplificazione di un radicale.- E’ corretto il seguente risultato ma il procedimento è sbagliato: Da  $\displaystyle \sqrt[6]{4}$, semplificando per 2 l’indice 6 con il radicando 4, si ottiene il risultato: $\displaystyle \sqrt[3]{2}$  (corretto), ma il ragionamento è completamente Errato
Infatti, bisogna procedere così: \[\sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{2^{2}}\] e quindi, semplificando l’indice 6 con l’esponente 2 del radicando, si ottiene \[\sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{2^{2}}=\sqrt[3]{2}\] il che è corretto.

Un altro esempio corretto: \[\sqrt[6]{9}=\sqrt[6]{3^{2}}=\sqrt[3]{3}\]

Invece, da \[\sqrt[6]{9}\] semplificando per 3 l’indice 6 con il radicando 9, si ottiene \[\sqrt{3}\] Ma il risultato ed il ragionamento sono errati.

2. E’ falsa la seguente uguaglianza: \[\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

Infatti, non esiste alcun teorema che “certifichi” tale uguaglianza.
Ad esempio: \[\sqrt{13}=\sqrt{9+4}\neq \sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5=\sqrt{25}\]

Spesso ci si confonde con l’uguaglianza vera: \[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\]

3. Non è vero che: \[\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{3}}\]

Infatti la radice \[\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}\] esiste, mentre la potenza \[\left ( -\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{3}}\] ad esponente reale non esiste se la base è negativa.

4. Semplificazione di espressioni irrazionali

\[\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y\]

Errato: non si possono semplificare gli esponenti di x ed y con la radice quadrata.

\[\sqrt{x^{2}\cdot y^{2}}=x\cdot y\]

Corretto, se x e y sono non negativi.

\[\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}}ab^{4}}=\frac{x}{y}b^{2}\sqrt{a}\]

Corretto, se x non negativo, y positivo, a positivo, b qualsiasi.
Errato, se x ed y qualsiasi numeri reali.

5. Semplificazione di espressioni irrazionali; \[\sqrt{x^{2}}=x\] può essere corretto o errato. Tutto dipende dal radicando x elevato al quadrato. Per ovviare ad equivoci conviene scrivere sempre:

\[\sqrt{x^{2}}=\left | x \right |\].

Invece è errato \[\sqrt{x^{2}}=x\] se per x s’intende un qualsiasi numero reale (positivo o negativo). Infatti, basta prendere x = -1 per capire che si otterrebbe l’assurdo 1 = -1. In questo caso bisogna scrivere:

\[\sqrt{x^{2}}=\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &se\, \, x>0 \\ 0 &se\, \, x=0 \\ -x & se\, \, x<0 \end{matrix}\right.\]

E’ corretto \[\sqrt{x^{2}}=x\] se per x s’intende un numero reale positivo o nullo, in quanto è esclusa la possibilità di considerare per x valori negativi.

Strafalcioni da evitare – Uguaglianze equazioni e disequazioni

1. Sono errate le seguenti implicazioni:

Infatti, 2 divide 18 e 6 divide 18 però 8 = 2+6 non divide 18. Lo stesso dicasi per il prodotto 12 = 2×6 che non divide 18.

2. La seguente identità è falsa:

\[\left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+1\]

E’ vero: \[\left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1\]

3. E’ falsa la seguente regola:

n! × m! = (n × m)!

Infatti 3! × 2 ! = 6× 2 = 12, mentre (3× 2)! = 6! = 720

4. E’ falsa la seguente implicazione:

\[sen\, \alpha =m\Rightarrow sen(\, 2\alpha )=2m\]

Ad esempio si ha:

5. Riflettere sulle seguenti uguaglianze. Alcune sono vere ed altre false.

6. L’equazione spuria di 2° si può risolvere anche applicando la formula relativa all’equazione canonica, ma bisogna evitare il seguente errore:

\[ax^{2}+bx=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4a}}{2a}\]

Infatti è corretto scrivere così:

\[ax^{2}+bx=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4a\cdot 0}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}}}{2a}\]

7. Per risolvere la seguente equazione è inutile fare i passaggi che seguono (anche se corretti):

In effetti, basta fare così:

.

Ricordiamo infatti che l’uguaglianza gode della proprietà simmetrica, cioè

( E VICEVERSA)

quindi è inutile fare il passaggio intermedio seguente:

.

8. Per risolvere la disequazione:

\[x^{2}-1>0\]

sono errati i seguenti passaggi:

\[x^{2}-1>0\Rightarrow x^{2}>1\Rightarrow x>\pm 1\]

Il passaggio errato è l’ultimo. Il primo è esatto, cioè è lecito dedurre che \[x^{2}-1>0\Rightarrow x^{2}>1\] ma non che \[x^{2}>1\Rightarrow x>\pm 1\]

Il risultato corretto è: \[x<-1\cup x>1\]

E’ corretto scrivere:\[x^{2}-1>0\Rightarrow x^{2}>1\Rightarrow \left | x \right |>1\Rightarrow x<-1\cup x>1\]

E’ corretto invece risolvere la seguente equazione così: \[x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm \sqrt{1}\Rightarrow x=\pm 1\]

oppure: \[x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow\sqrt{x^{2}}=\sqrt{1}\Rightarrow \left | x \right |=1\Rightarrow \ x=\pm 1\]

Insomma, l’equazione Si e la disequazione No.

9. Risoluzione di una equazione
Risolvere la seguente equazione:

15x – 3 = 10x – 2.

Si potrebbe pensare di risolvere l’equazione nel seguente modo:

15x – 3 = 10x – 2     ossia       3(5x – 1) = 2(5x – 1)

da cui dividendo per 5x – 1, si ha:

3 = 2 (assurdo).

Orbene, tale ragionamento è sbagliato, e l’errore consiste nell’aver diviso per 5x – 1. Infatti così facendo abbiamo soppresso l’unica soluzione x = 1/5 dell’equazione data .
La risoluzione corretta è la seguente:

15x – 3 = 10x – 2    ossia    15x – 10x = 3 – 2     ossia     5x = 1     ossia     x = 1/5.

10. Risoluzione di una equazione.
Risolvere nell’insieme dei numeri interi Z l’equazione:\[3x^{2}-5x+2=0\]Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado si ottiene: \[x=2,\, \, x=-\frac{1}{3}\] però l’unica soluzione accettabile è x = 2, in quanto \[x=-\frac{1}{3}\notin Z\].

11. Risoluzione di una equazione
Risolvere la seguente equazione:\[x-1=\sqrt{x^{2}-5}\] L’equazione è definita in \[C.E.=\left ( -\infty ,-\sqrt{5} \right )\cup \left ( \sqrt{5},+\infty \right )\] Elevando al quadrato ambo i membri si ottiene l’equazione: 2x – 6 = 0 avente per soluzione x = 3. Orbene, osservato che \[3\in C.E.\] si potrebbe concludere che x = 3 è soluzione anche dell’equazione assegnata. Tale conclusione è errata come facilmente si dimostra effettuando la verifica: \[1-3=\sqrt{3^{2}-5}\Rightarrow -2=2\, \, \, assurdo\]

12. Risoluzione di una equazione
Risolvere l’equazione:

\[\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}\]

L’equazione è definita in

\[C.E.=R-\left \{ \pm 1 \right \}\]

Moltiplicando  il   1°   e   2°  membro  per  il  minimo  comune  denominatore (x – 1)(x + 1) si ha l’equazione:

x + 1 = 0

avente per soluzione x = – 1.
Orbene, concludere che x = – 1 è soluzione anche dell’equazione data è errato  in quanto

\[-1\notin C.E.\]

Strafalcioni da evitare – Analisi Matematica

1. E’ completamente senza significato la seguente scrittura:

\[\lim_{x\rightarrow -5}\left ( 3x+4 \right )^{\frac{1}{3}}\]

e quindi non è calcolabile. Infatti, – 5 non è un punto d’accumulazione del dominio \[D=[-\frac{4}{3},+\infty [\] della funzione \[f(x)=(3x+4)^{\frac{1}{3}}\] di cui si vuole calcolare il limite.

2. E’ completamente senza significato la seguente scrittura:

\[\lim_{x\rightarrow -3}\sqrt{x-1}\]

(vedi punto 1).

3. E’ errato il calcolo del seguente limite:

\[\lim_{x\rightarrow 3}e^{\frac{1}{x-3}}=e^{\frac{1}{0}}=e^{\infty }=\infty\]

Il simbolo  non è definito e dunque non dà .
Per procedere in modo corretto, bisogna calcolare il limite destro e sinistro della frazione 1/(x-3), ossia:

limit_1

In conclusione il limite nel punto 3 non esiste ma esistono e sono distinti i limiti destro e sinistro.

4. Calcolare la derivata della funzione \[y=\left | x-2 \right |\]

Osservato che la funzione data si può riscrivere nel seguente modo \[y=\left\{\begin{matrix} x+2 &se\, x>-2 \\ 0 &se\, x=-2 \\ -x-2 & se\, x<-2 \end{matrix}\right.\] si potrebbe pensare di concludere che la derivata è: \[y’=\left\{\begin{matrix} 1 &se\, x>-2 \\ 0 &se\, x=-2 \\ -1 & se\, x<-2 \end{matrix}\right.\] ossia che in x = -2 la derivata sia nulla (poiché y = 0 è costante) Errato.
Per stabilire la derivata in – 2 bisogna costruire il rapporto incrementale a destra e sinistra e verificare se i limiti coincidono o meno.
Calcolando i rapporti incrementali sinistro e destro si osserva che i limiti sono rispettivamente -1 ed 1 e pertanto la derivata in -2 non esiste.

Uguaglianze false

E’ falso che $\displaystyle \left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+1$. Infatti è vero che $\displaystyle \left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$