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Successioni definite per ricorrenza o per induzione

Una successione si dice assegnata per ricorrenza o per induzione se si assegna il primo termine e se il termine $\displaystyle a_{1}$ e il termine $\displaystyle a_{n+1}$ è funzione del termine precedente:

$\displaystyle a_{1}$ assegnato,     $\displaystyle a_{n+1}=f\left ( a_{n} \right )$

con f una funzione continua.

Per studiare il comportamento di una tale successione, ovvero per stabilire se è regolare (convergente o divergente) o non regolare si può procedere nel seguente modo:

  • Si calcolano i possibili valori del limite, cioè si suppone che la successione $\displaystyle a_{n}$ sia regolare con limite finito L o $\displaystyle \pm \infty$  . Da cui segue che anche la successione $\displaystyle a_{n+1}$ ha limite L o $\displaystyle \pm \infty$ , ed essendo la funzione f continua segue che L = f(L)

In preparazione

Esempio 1.- Calcolare il limite della seguente successione:

$\displaystyle a_{1}=\frac{1}{3}, \, \, \, \, \, \, \, \: \: \: \: a_{n+1}=\left ( a_{n} \right )^{2}$