$\displaystyle a_{1}$ assegnato, $\displaystyle a_{n+1}=f\left ( a_{n} \right )$
con f una funzione continua.
Per studiare il comportamento di una tale successione, ovvero per stabilire se è regolare (convergente o divergente) o non regolare si può procedere nel seguente modo:
- Si calcolano i possibili valori del limite, cioè si suppone che la successione $\displaystyle a_{n}$ sia regolare con limite finito L o $\displaystyle \pm \infty$ . Da cui segue che anche la successione $\displaystyle a_{n+1}$ ha limite L o $\displaystyle \pm \infty$ , ed essendo la funzione f continua segue che L = f(L)
In preparazione
Esempio 1.- Calcolare il limite della seguente successione:
$\displaystyle a_{1}=\frac{1}{3}, \, \, \, \, \, \, \, \: \: \: \: a_{n+1}=\left ( a_{n} \right )^{2}$