Riportiamo qui di seguito lo sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari con il termine complementare di Peano. Alcuni sviluppi sono stati calcolati con Wolfram Alpha.
1.- Sviluppo della funzione esponenziale:
\[e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+…+\frac{x^{n}}{n!}+o\left ( x^{n} \right )\]
$\displaystyle \forall x\in R$ Maggiori info
\[a^{x}=e^{x\, ln\, a}=1+x\, ln\, a+\frac{\left ( x\, ln\, a \right )^{2}}{2!}+\frac{\left ( x\, ln\, a \right )^{3}}{3!}+…+\frac{\left ( x\, ln\, a \right )^{n}}{n!}+o\left ( x^{n} \right )\]
2.- Sviluppo della funzione logaritmo:
\[ln\left ( 1+x \right )=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-…+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})\]
$\displaystyle \forall x\in (-1,1]$
3.- Sviluppo della funzione ad esponente reale $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha \in R$:
\[\left ( 1+x \right )^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{2!}x^{2}+…+\binom{\alpha }{n}x^{n}+o\left ( x^{n} \right )\]
Per $\displaystyle \alpha =-1$ si ha:
\[\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+…+\left ( -1 \right )^{n}x^{n}+o\left ( x^{n} \right )\]
\[\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n}+o\left ( x^{n} \right )\]
Per $\displaystyle \alpha =\frac{1}{2}$ si ha:
\[\sqrt{1+x}=1-\frac{x}{2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^{2}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^{3}+…+\left ( -1^{n} \right )\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot …\cdot (2n)}x^{n}+o\left ( x^{n} \right )\]
4.- Sviluppo delle funzione goniometriche:
y = sen x:
\[sen(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-…+\left ( -1 \right )^{n}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left ( x^{2n+1} \right )\]
y = cos x
\[cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+\left ( -1 \right )^{n}\cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\left ( x^{2n} \right )\]
5.- Sviluppo delle funzione goniometriche: y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = cosec x
y = tan x.- Lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione y = tan x non è notevole, anche se esiste uno sviluppo in cui compaiono i numeri di Bernoulli .
Per ottenere lo sviluppo in serie della tan x si può partire dalla sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione – ln (cos x)
\[-ln(cos\, x) =\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{6}}{45}+\frac{17}{2520}x^{8}+\frac{31}{14175}x^{10}+o\left ( x^{10} \right )\]
da cui, derivando termine a termine per il teorema di derivazione delle serie di potenze, si ha:
\[tanx=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{7}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+o\left ( x^{10} \right )\]
y = cot x:
\[cot\, x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^{3}}{45}-\frac{2}{945}x^{5}+o\left ( x^{6} \right )\]
y = sec x:
\[sec\, x=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{61}{720}x^{6}+o(x^{7})\]
y = cosec x:
\[cosec\, x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120}x^{5}+o\left ( x^{6} \right )\]
6.- Sviluppo delle funzione goniometriche inverse:
y = arcsen x
\[arcsen\left ( x \right )=x+\frac{x^{3}}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3\cdot }{2\cdot 4\cdot 5}x^{5}+…+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot …\cdot (2n)(2n+1)}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left ( x^{2n+1} \right )\]
y = arccos x:
\[arccos\, x=\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^{3}}{6}-\frac{3}{40}x^{5}-\frac{5}{112}x^{7}-\frac{35}{1152}x^{9}+o\left ( x^{9} \right )\]
y = arcotan x
\[arctan\left ( x \right )=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+…+\left ( -1 \right )^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left ( x^{2n+1} \right )\]
y = arccot x
\[arccot\, x=\frac{\pi }{2}-x+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+…-\left ( -1 \right )^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left ( x^{2n+2} \right )\]
7.- Sviluppo delle funzione iperboliche (Teoria):
y = senh x:
\[sinh\left ( x \right )=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+…+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left ( x^{2n+1} \right )\]
y = cosh x:
\[cosh\left ( x \right )=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+…+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\left ( x^{2n} \right )\]
y = tanh x:
\[tanh\, x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}-\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+o\left ( x^{10} \right )\]
y = coth x:
\[coth\, x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}+\frac{2}{15}x^{5}-\frac{x^{3}}{45}+\frac{2}{945}x^{5}+o\left ( x^{6} \right )\]
y = sech x:
\[sech\, x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{24}x^{4}-\frac{61}{760}x^{6}+o\left ( x^{7} \right )\]
y = cosech x:
\[cosech\, x=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}+\frac{7}{360}x^{3}-\frac{31}{15120}x^{5}+o\left ( x^{6} \right )\]
8.- Sviluppo delle funzione iperboliche inverse:
y = asenh x:
\[arcsenh\, x=settsenh\, x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3}{40}x^{5}+…+\left ( -1 \right )^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}\left ( n! \right )^{2}(2n+1)}x^{2n+1}+o\left ( x^{2n+2} \right )\]
y = acosh x:
\[arccosh\, x=settcosh\, x=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{6}}{720}+\frac{x^{8}}{40320}+o\left ( x^{10} \right )\]
y = atanh x:
\[arctanh\, x=setttanh\, x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+…+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left ( x^{2n+2} \right )\]
y = acoth x:
\[arccoth\, x=settcoth\, x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^{3}}{45}+\frac{2}{945}x^{5}-\frac{x^{7}}{4725}+\frac{2}{93555}x^{9}+o\left ( x^{10} \right )\]
NOTA.- Se f(x) è una funzione che tende a zero per x che tende a c (qualunque, anche infinito), allora valgono i seguenti sviluppi: