Teorema della media.

Teorema della media.
Se una funzione y = f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora esiste un punto c di tale intervallo per il quale si ha: \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\left ( b-a \right )f\left ( c \right )\] o, in forma equivalente: \[f(c)=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}\]

 

Dimostrazione
Supponiamo che la funzione f(x) sia positiva nell’intervallo [a,b] e siano m e M il minimo ed il massimo assoluti della funzione in tale intervallo, che esistono certamente per il teorema di Weierstrass. Allora, come si vede dalla figura 1, l’area del trapezoide ABB’A’ è compresa fra l’area del rettangolo CDB’A’ e l’area del rettangolo EFB’A’, cioè: \[S\left ( CDB’A’ \right )\leq S\left ( ABB’A’ \right )\leq S\left ( EFB’A’ \right )\]

 

teorema_media

ossia:

… (continua tu!)

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