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Teorema della media integrale

Teorema della media.
Se una funzione y = f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora esiste un punto c di tale intervallo per il quale si ha: \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\left ( b-a \right )f\left ( c \right )\] o, in forma equivalente se $\displaystyle b\neq a$ : \[f(c)=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}\]

Dimostrazione
Supponiamo che la funzione f(x) sia positiva nell’intervallo [a,b] e siano m e M il minimo ed il massimo assoluti della funzione in tale intervallo, che esistono certamente per il teorema di Weierstrass. Allora, come si vede dalla figura 1, l’area del trapezoide ABB’A’ è compresa fra l’area del rettangolo CDB’A’ e l’area del rettangolo EFB’A’, cioè: \[S\left ( CDB’A’ \right )\leq S\left ( ABB’A’ \right )\leq S\left ( EFB’A’ \right )\]

 

teorema_media

ossia:

… (continua tu!)…hai visto che scherzo che ti ho fatto???? Interessante vero?…se proprio non sai come andare avanti nella dimosrazione clicca qui

Esempio 1.- Trovare il valore medio f(c) = m della funzione $\displaystyle y=-x^{2}+x$ nell’intervallo [0, 1/2]; successivamente calcolare il valore di x dell’intervallo per il quale la funzione y è uguale al valore medio m

Risoluzione

Prima di tutto calcoliamo l’integrale della funzione esteso tra 0 ed 1/2, ed è

\[\int_{0}^{\frac{1}{2}}-x^{2}+x\, dx=\frac{1}{12}\]

quindi calcoolare il valore medio m della funzione utilizzando la tesi del teorema del valore medio, si ha:

\[f(c)=\frac{\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-x^{2}+x)\, dx}{\frac{1}{2}-0}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}\]

m = 1/6

Successivamente si sostituisce il valore medio m al posto di y e si ricava x, e si accetta l’unico valore che sta nell’intervallo. Si ha:

\[\frac{1}{6}=-x^{2}+x\rightarrow 6x^{2}-6x+1=0\]

da cui $\displaystyle c=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$.