Crea sito

Teorema di De L’Hopital

Come conseguenza del Teorema di Cauchy si hanno i seguenti due teoremi:

1° Teorema di De L’Hôpital.- Siano y = f(x) e y = g(x) due funzioni definite nell’intervallo [a, c [, infinitesime in c $\displaystyle \left (\lim_{x\rightarrow c}f(x)=0,\, \lim_{x\rightarrow c}g(x)=0 \right )$ ed inoltre siano le due funzioni derivabili e per ogni x risulti $\displaystyle g'(x)\neq 0$. Allora se esiste il limite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ esiste anche il limite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}$ e sono uguali.
Analogo risultato vale in ]c, b]

 

2° Teorema di De L’Hôpital.- Siano y = f(x) e y = g(x) due funzioni definite nell’intervallo [a, c [,  risulti $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=\pm \infty,\, \, \lim_{x\rightarrow c}g(x)=\pm \infty$ ed inoltre siano le due funzioni derivabili e per ogni x risulti $\displaystyle g'(x)\neq 0$. Allora se esiste il limite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ esiste anche il limite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}$ e sono uguali.
Analogo risultato vale in ]c, b].