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Teorema di Lagrange e conseguenze

Teorema di Lagrange.
Sia y = f(x) una funzione definita e continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile nell’intervallo aperto (a, b) allora esiste almeno un punto c dell’intervallo aperto (a, b) tale che: \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Dimostrazione

Interpretazione geometrica
Dal punto di vista geometrico il teorema di Lagrange afferma che per il grafico di una curva d’equazione y = f(x), continua in [a, b], con estremi di coordinate A(a, f(a)) e B(b, f(b)), dotata di retta tangente in ogni punto di ascissa interna ad [a, b], esiste un punto P d’ascissa \[c\in \left ( a,b \right )\] in cui la tangente t alla curva è parallela alla secante alla curva y = f(x) passante per i punti A(a, f(a)) e B(b, f(b)).

Conseguenze del teorma di Lagrange

Corollario 1.- Se una funzione ha derivata identicamente nulla nell’intervallo [a, b] allora la funzione è costante in [a, b].

Corollario 2.- Se due funzioni sono derivabili ed hanno la stessa derivata in tutti i punti di allora le due funzioni differiscono per una costate.

Corollario 3.- Se una funzione ha derivata sempre positiva in [a, b] allora è strettamente crescente in [a, b], se invece  ha derivata sempre negativa in [a, b] è strettamente decrescente.

Esempio 1.- Vedi il seguente video su Youtube