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Teoremi e dimostrazioni

Una delle facoltà dell’intelletto è qiella di fare raziocini, dare giudizi, mediante un ragionamento, che può essere induttivo o deduttivo.
Se il ragionamento è deduttivo si parla di dimostrazione. Una proposizione che viene dimostrata si chiama teorema

Dimostrazione diretta e indiretta.
Una dimostrazione di un teorema si dice indiretta, o per assurdo, o per conraddizione, se negando la tesi e procedendo con un ragionamento logico deduttivo si arriva ad una contraddizione dell’ipotesi.

\[tesi\, negata \Rightarrow ipotesi \, negata\]

Pertanto se negando la tesi si giunge ad un assurdo (ipotesi falsa, che è vera perchè ammessa all’inizio del ragionamento) vuol dire che la tesi non si può negare e dunque è vera (cioè è vero il teorema).

Una dimostrazione si dice diretta se partendo dall’ipotesi e proseguendo con un ragionamento logico deduttivo si arriva alla tesi.

\[ipotesi \Rightarrow tesi\]

Teorema diretto e inverso. Un teorema si dice inverso (o reciproco) di un altro teorema (diretto) se si ottiene da questo scambiando l’ipotesi con la tesi.

Ricordiamo che se un teorema è vero non è detto che lo sia il suo inverso.

Esempio 1.1.- Consideriamo il teorema (diretto):
1) Angoli opposti al vertice sono congruenti.

Il suo inverso è:

1′) Se due angoli sono congruenti allora sono opposti al vertice.

Notiamo che il secondo è stato ottenuto dal primo scambiano l’ipotesi con la tesi, però il primo è vero ma il secondo non lo è.

Condizione necessaria e sufficiente.
Se risultano veri sia il teorema diretto che il suo inverso, gli enunciati dei due teoremi si possono raccogliere ed esprimere in una solo proposizione detta “Condizione Necessaria e sufficiente”.

Esempio 2.1.– Consideriamo i seguenti due teoremi, l’uno inverso dell’altro.
2) Ogni punto dell’asse di un segmento è equidistante dagli estremi di esso
2′) Ogni punto equidistante dagli estremi di un segmento appartiene all’asse del segmento.

Possiamo raccogliere ed esprimere tali due teoremi in una sola proposizione:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto sia equidistante dagli
estremi di un segmento, è che esso appartenga all’asse del segmento.

Il teorema (2), o proposizione, esprime che la condizione è necessaria, mentre la (2′) che è sufficiente. Se il teorema inverso non è vero allora la condizione è solo necessaria.

Nell’Esempio 1 la condizione di congruenza per due angoli è necessaria ma non sufficiente affinché essi siano opposti al vertice. Invece, la condizione di essere opposti al vertice è sufficiente, ma non necessaria, affiché gli angoli siano congruenti.

Esempio 2.2.- I seguenti due teoremi sono l’uno l’inverso dell’altro:

3) In ogni triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti
3′) Se un triangolo ha due angoli congruenti è isoscle.

Tali teoremi, entrambi veri, si possono si esprimere con una condizione necessaria e sufficiente.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele
è che abbia due angoli congruenti.

o anche:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo
abbia due angoli congreuenti è che esso sia isoscele.

Esempio 3.1.- Per coloro che conoscono l’analisi matematica. Se $\displaystyle y=f(x)$ è una funzione derivabile in $\displaystyle x_{0}$ allora essa essa è continua in $\displaystyle x_{0}$
Tale teorema non è invertibile

Esempio 3.2.- Per coloro che conoscono l’analisi matematica. Se $\displaystyle x_{0}$ è un punto di massimo relativo per la funzione derivabile $\displaystyle y=f(x)$ allora $\displaystyle f'(x_{0})=0$
Tale teorema non si può invertire, cioè non è vero che:

Se in un punto $\displaystyle x_{0}$ si ha $\displaystyle f'(x_{0})=0$ allora $\displaystyle x_{0}$
è un punto di massimo relativo per la funzione

Esempio 3.3.- Condizione necessaria e sufficiente affinchè un numero intero sia divisibile per dieci è che termini per zero.

Esempio 3.4.- Condizione necessaria e sufficiente affichè un prodotto sia nullo è che sia nullo un suo fattore.

Se da una proprietà h (o da una affermazione h), vera, si può dedurre che un’altra proprietà t (o affermazione t) lo è  ugualmente, si dice che la proprietà h (l’affermazione h) implica la proprietà t (l’affermazione t) e si scrive \[h\Rightarrow t\]

da leggere “h implica t”. In pratica l’implicazione $\displaystyle h\Rightarrow t$  significa che se h è vera anche t lo è. L’affermazione h si dice l’ipotesi, o antecedente, l’affermazione t conclusione o conseguente.

Nell’implicazione $\displaystyle h\Rightarrow t$  h si dice anche condizione sufficiente per t, il che significa: affinchè t sia vera basta che h sia vera; t invece è una condizione (o conseguenza) necessaria per h, cioè se h è vera anche t è necessariamente vera.
Se h è l’ipotesi di un teorema e t la tesi allora

\[h\Rightarrow t\]

e

\[t\Rightarrow h\]

significano rispettivamente che h è condizione sufficiente per t e che t è condizione necessaria per h, e si può anche dire allora che h è condizione necessaria e sufficiente per t e si scirve

\[h\Leftrightarrow t\]

e significa che h è vera se, e solo se, t è vera.
Di conseguenza per dimostrare una doppia implicazione $\displaystyle h\Leftrightarrow t$  bisogna dimostrare sia $\displaystyle h\Rightarrow t$ che $\displaystyle t\Rightarrow h$.