Teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria

Teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria

1° Teorema. In ogni triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto. \[a=i\cdot sen\beta,\, \, \, a=i\cdot cos\gamma\]\[b=i\cdot sen\gamma ,\, \, \, b=i\cdot cos\beta\]

2° Teorema. In ogni triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto o per la cotangente dell’angolo acuto adiacente al cateto.\[a=b\cdot tan\beta,\, \, \, a=b\cdot cot\gamma\]\[b=a\cdot tan\gamma ,\, \, \, b=a\cdot cot\beta\]

Esempio 1.- L’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC è 20  e l’angolo $\displaystyle \gamma =30^{\circ}$. Risolvere il triangolo.

Risoluzione

Risolvere il triangolo significa determinare tutti i suoi elementi, angoli e lati.
Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli possiamo calcolare il cateto b:

$\displaystyle b=isen\gamma \rightarrow b=20sen\left ( 30^{\circ} \right )=10$

$\displaystyle a=icos\gamma \rightarrow a=20cos\left ( 30^{\circ} \right )=20\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$

L’angolo in B vale 60 gradi, 90° – 30° = 60°.

Esempio 2.- Il cateto b del triangolo rettangolo ABC è 12 e l’angolo $\displaystyle \gamma =60^{\circ}$. Risolvere il triangolo.

Risoluzione parziale

Applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli possiamo calcolare il cateto a:

$\displaystyle a=bcot\gamma \rightarrow a=12cot\left ( 60^{\circ} \right )=12\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$

continua da solo…

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