Crea sito

Teoremi sulle funzioni continue

Riportiamo i teoremi principali sulle funzioni continue.

Teorema di Weierstrass.- Se la funzione y = f(x) è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [ a, b ] allora ammette il massimo e il minimo assoluti nell’intervallo [ a, b ].

Teoremi degli zeri.- Se la funzione y = f(x) è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [ a, b ] e se negli estremi a e b assume valori di segno opposto esiste almeno un punto c interno ad [ a, b ] in cui la funzione si annulla, cioè f(c) = 0

1° Teorema di Bolzano (o dei valori intermedi).- Se la funzione y = f(x) è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [ a, b ] e se $\displaystyle y_{1}$ e $\displaystyle y_{2}$ sono due valori della funzione f(x), allora la funzione assume, almeno una volta tutti i valori tra $\displaystyle y_{1}$ e $\displaystyle y_{2}$.

2° Teorema di Bolzano.- Se la funzione y = f(x) è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [ a, b ] allora l’insieme immagine è un intervallo.

N.B. Non vale il viceversa.

Teorema inverso di Bolzano.- Se la funzione y = f(x) è definita in un intervallo chiuso limitato [ a, b ] e ivi monotona e se assume tutti i valori tra f(a) e f(b) allora f(x) è continua in [ a, b ].

Teorema del punto fisso.- Se la funzione y = f(x) è definita e continua in un intervallo chiuso [ a, b ] e il suo codominio è incluso in [ a, b ] allora esiste almeno un punto c di [ a, b ]  tale che f(c) = c.

Teorema.- Se la funzione y = f(x) è definita in un intervallo I di R e se f(x) è strettamente ordinata e f(I) è un intervallo, allora la f(x) è continua in I.

Teorema.- Se la funzione y = f(x) è definita in un intervallo I di R e se f(x) è strettamente ordinata e f(I) è un intervallo, allora \[\displaystyle f^{-1}(x)\] è continua in f(I).

Teorema.- Se la funzione y = f(x) è definita e continua in un intervallo I di R e se f(x) è strettamente ordinata, allora f(x) è una funzione biunivoca di I sull’intervallo f(I).