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Teoremi sulle successioni

Unicità del limite.- Se la successione $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ ammette limite, questo limite è unico.

Teorema della permanenza del segno.-

  1. Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ ammette limite L > 0, oppure +∞, allora $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è definitivamente positiva.
  2. Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è definitivamente non-negativa ed ammette limite L, allora L ≥ 0 oppure è +∞.

Teorema del confronto.- Siano $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$, $\displaystyle \left ( b_{n} \right )_{n\in N}$, $\displaystyle \left ( c_{n} \right )_{n\in N}$ tre successioni per le quali vale

$\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ definitivamente.

Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ e $\displaystyle \left ( c_{n} \right )_{n\in N}$ ammettono limite L ∈ R, anche $\displaystyle \left ( b_{n} \right )_{n\in N}$ tende ad L.
Inoltre, se definitivamente vale $\displaystyle a_{n}\leq b_{n}$, sono vere le implicazioni:

$\displaystyle a_{n}\rightarrow +\infty\, \, \, \Rightarrow\, \, \, \, b_{n}\rightarrow +\infty$

$\displaystyle b_{n}\rightarrow -\infty\, \, \, \Rightarrow\, \, \, \, a_{n}\rightarrow -\infty$

Monotonia.- Ogni successione monotòna è regolare.
Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è monotona crescente o non-decrescente, si ha: $\displaystyle \lim_{n}a_{n}=sup\left \{ a_{n} \right \}$;
se è monotona decrescente o non-crescente, si ha: $\displaystyle \lim_{n}a_{n}=inf\left \{ a_{n} \right \}$ .
Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è definitivamente monotona, ammette limite.
Quindi se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è monotona, vale:

“ $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è convergente se e solo se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è limitata”

Lemma.- Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ ammette limite, ogni successione estratta da essa ammette lo stesso limite.

Teorema 1.- (Teorema di Bolzano Weierstrass) Se $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ è una successione reale limitata allora $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ ammette una successione da essa estratta convergente.

Variante del teorema di Bolzano Weierstrass: Un insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione.

Teorema.- Una successione $\displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in N}$ converge se e solo se soddisfa la condizione di Cauchy.

Teorema di Cesàro.- Se $\displaystyle \left \{ x_{n} \right \}_{n\in N}$ è una successione regolare anche la successezione $\displaystyle \left \{ y_{n} \right \}_{n\in N}$ delle medie aritmetiche è regolare, ed ammette lo stesso limite. Si ha:

\[\lim_{n}\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}=\lim_{n}x_{n}\]

puirché esista il limite $\displaystyle \lim_{n}x_{n}$.

Ricordiamo che la successione delle medie artimetiche di una successione $\displaystyle \left \{ x_{n} \right \}_{n\in N}$ è definita da $\displaystyle y_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n},\, \, \, \, \, \, \forall n\in N$.

Teorema sulle medie geometriche.- Se $\displaystyle \left \{ x_{n} \right \}_{n\in N}$ è una successione a termini positivi è regolare anche la successezione $\displaystyle \left \{ y_{n} \right \}_{n\in N}$ delle medie geometriche è regolare, ed ammette lo stesso limite. Si ha:

\[\lim_{n}\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot…\cdot x_{n}}=\lim_{n}x_{n}\]

puirché esista il limite $\displaystyle \lim_{n}x_{n}$.

Ricordiamo che la successione delle medie geometriche di una successione $\displaystyle \left \{ x_{n} \right \}_{n\in N}$ è definita da $\displaystyle y_{n}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot…\cdot x_{n}},\, \, \, \, \, \, \, \forall n\in N$ .