Teoremi di trigonometria riguardanti i triangoli qualsiasi

Teoremi di trigonometria riguardanti i triangoli qualsiasi

Teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra ogni lato e il seno dell'angolo a esso opposto (fig. 1)

\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\gamma }

Se indichiamo con R il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo il teorema dei seni si può scrivere anche così: 

\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\gamma }=2R

Teorema della corda
In una circonferenza, la misura di una corda è data dal prodotto della misura del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda

\overline{AB}=2Rsen\alpha =2Rsen\left ( 180^{\circ}-\alpha \right )

 con 2R il diametro della circonferenza.

 

Teorema di Carnot (o del coseno)
In ogni triangolo il quadrato di un lato e' uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto degli stessi lati per il coseno dell' angolo fra essi compreso 

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot cos\alpha

Teorema di Nepero
Teorema. In un triangolo qualsiasi la differenza delle misure di due lati sta alla loro somma come la tangente della semidifferenza degli angoli opposti sta alla tangente della semisomma degli stessi angoli 

\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan\frac{\alpha -\beta }{2}}{tan\frac{\alpha +\beta }{2}}

 

Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualsiasi, ogni lato è somma dei prodotti tra ciascuno degli altri lati per il coseno dell'angolo che essi formano con il primo 

a=b\cdot cos\, \theta +c\cdot cos\, \beta

 

Formule di Briggs
Le formule di Briggs, dovute al matematico inglese Henry Briggs (1561-1630), maggiormente conosciuto per i suoi studi sui logaritmi in base 10 (talvolta chiamati briggiani in suo onore).
Tali formule permettono di determinare le formule goniometriche per gli angoli di un triangolo conoscendone i lati 

sen\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{b\cdot c}}

 

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