Test sulle matrici

Un breve test sul rango e sul determinante di una matrice (in preparazione)

1.- Quali delle seguenti matrici ha determinante uguale a zero

\[A=\begin{bmatrix}-13\end{bmatrix}\]

\[A=\begin{bmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{bmatrix}\]

\[B=\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 &0 \\\end{bmatrix}\]

\[C=\begin{bmatrix}2 & -2 &1 &-1 &0 \\\end{bmatrix}\]

\[D=\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]

\[E=\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & -1 & 1 \\2 & -1 & 1 \\\end{bmatrix}\]

2.- Le seguenti due matrici

\[A=\begin{bmatrix}1 &2 &0 \\ -1&-2 &0 \\0 &1 &-2 \\\end{bmatrix}\] \[B=\begin{bmatrix}0 &2 &-1 \\0&-2 &1 \\-1 &1 &-2 \\\end{bmatrix}\]

hanno lo stesso determinante?

3.- La seguente matrice \[C=\begin{bmatrix}5 &1 &2 \\10&2 &4 \\-1 &1 &-1 \\\end{bmatrix}\] ha determinante uguale a zero?

4.1- Le seguenti due matrici

\[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 4& 5 & 6 \\ 7& 8&9 \\\end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix}9 &8 &7 \\ 6& 5 & 4 \\ 3& 2&1 \\\end{bmatrix}\]

hanno lo stesso determinante?
Quanto vale il determinante?
E’ vero che per ogni matrice quadrata d’ordine maggiore di 2 il determinante di matrici come quelle indicate hanno sempre lo stesso determinante?

4.2.- Le seguenti due matrici hanno lo stesso determinante?

\[A=\begin{bmatrix}-1 &2 &3 \\0 & 1 &0 \\\frac{1}{2} & -1 & 3 \\\end{bmatrix}\]

\[A^{t}\begin{bmatrix}-1 &0 & \frac{1}{2} \\2 & 1 &-1 \\3 & 0 & 3 \\\end{bmatrix}\]

4.3.- Calcolare il determinante delle matrici:

\[A=\begin{bmatrix}2 & 4 & -1&2 \\ 0& -1 &3 &5 \\ 0& 0& 1& 4 \\ 0& 0& 0& 3 \\\end{bmatrix}\]

\[B=\begin{bmatrix}2 & 4 & -1&2 \\ 1& -1 &3 &2 \\ 3& 3& 2& 4 \\ 0& 0& 0& 3 \\\end{bmatrix}\]

\[C=\begin{bmatrix}3 & 1 & -1&3 \\ 1& -1 &3 &2 \\ 2& 2& -4& 1 \\ 0& -2& 0& 3 \\\end{bmatrix}\]

5.1- Calcolare il rango della matrice A e della sua trasposta:\[A=\begin{bmatrix} -1& 2& -1& 4 \\ 0& 1& 2& -1\\ 3& -1& 1& 2 \\\end{bmatrix}\]

5.2.- La seguente matrice \[A=\begin{bmatrix} 1&1 \\1 &2 \\-1 &-2 \\\end{bmatrix}\] ha determinante nullo? E’ vero che ha rango 2?

5.3.- Stabilire al variare di x reale il determinante della seguente matrice \[E=\begin{bmatrix}x & 0 &0 \\0 & -1 & 1 \\2 & -1 & 1 \\\end{bmatrix}\]

5.4.- Stabilire per quale valore di x reale il determinante della seguente matrice è tre\[E=\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & -1 & 1 \\4 & -1 & x \\\end{bmatrix}\]

5.5.- In quale caso il rango di una matrice è zero? E’ vero che il rango di una matrice quadrata è zero se e solo se il determinante è zero?

6.- Una delle seguenti matrici ha rango 2 \[A=\begin{bmatrix}1 &2 &5 \\-1 &-4 &-10 \\\end{bmatrix}\] 

\[B=\begin{bmatrix}1 &2 &5 \\-2 &-4 &-10 \\\end{bmatrix}\]

Qual è?

7.- Stabilire il rango della seguente matrice \[A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 &4 \\5 &6 &7 &8 \\6 &8 &10 &12 \\\end{bmatrix}\]

8.- Stabilire il rango della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix}1 &1 &2 &2 \\2 &2 &1 &1 \\-1 &-1 &1 &1 \\\end{bmatrix}\]

9.- Stabilire il rango della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix}-1 &1 &2 &0 \\2 &2 &3 &0 \\0 &0 &0 &0 \\\end{bmatrix}\]

10.1- E’ vero che la seguente matrice  \[\begin{bmatrix}senx &-cosx &0 \\cosx &senx &senx \\ 0& 0 & 1 \\\end{bmatrix}\] ha determinante 1? E’ vero che ha rango 3?

10.2- Calcolare il rango della seguente matrice quadrata:

\[A=\begin{bmatrix}\int_{1}^{1} x^{1209}dx& 1 \\0 & \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cosx\, dx \\\end{bmatrix}\]

10.3.- Calcolare il rango della seguente matrice quadrata sapendo che :\[A=\begin{bmatrix} y'(-1)&y”(1) &0 \\ y”(0)& y(1) & 2 \\ 1& -1& 3\\\end{bmatrix}\]

e \[y=x^{3}\] con y’ e y” le derivate della funzione nel punto indicato

11.- E’ vero che il rango della matrice \[\begin{bmatrix}e^{x} &1 &0 \\x^{2} &e^{-x} &3 \\ 0& 0 & 1 \\\end{bmatrix}\] è due se x = 1? E’ vero che è tre se x è diverso da -1 e 1? Può essere il rango della matrice 2? Può essere 1?

12.- Stabilire al variare di x reale il rango della seguente matrice \[E=\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & -1 & 1 \\4 & -1 & x \\\end{bmatrix}\]

13.- Stabilire al variare di x reale il rango della seguente matrice\[E=\begin{bmatrix}x & 0 &0 \\0 & -1 & 1 \\4000 & -1 & x \\\end{bmatrix}\]

14.- Stabilire al variare di x reale il rango della seguente matrice\[\begin{bmatrix}1 & 2 &3 &4 \\3 & x&9 &12 \\\end{bmatrix}\]

15.- Stabilire al variare di x reale il rango delle seguenti matrici\[\begin{bmatrix}x & 0 &0 & 0 & -1 \\\end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix}x & 0 &0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix}0 \\0 \\0 \\0 \\x^{2}-4 \\\end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix}0 \\x^{2}-1 \\0 \\0 \\-100000 \\\end{bmatrix}\]

16.- E’ vero che qualunque sia x reale il rango della seguente matrice \[\begin{bmatrix}x^{2} & -10 \\10 & -1 \\ 1& 0\\\end{bmatrix}\] è sempre 2?

17.- E’ vero che qualunque sia x reale il rango della seguente matrice \[\begin{bmatrix}1 &-1 &1 \\1 & x^{2} &0 \\2 &-2 & 2\\2 & 0 &1 \\\end{bmatrix}\]

è almeno 2? Può essere il rango 3?