6.1 – 9.8 = 6.2 – 6.3
Vogliamo qui calcolare i seguenti due integrali\[\int \frac{ax+b}{cx+d}\, dx\] \[\int \frac{mx+q}{x^{2}+\beta x+\gamma }dx\] che rientrano nell’integrazione delle funzioni razionali fratte, e però si possono calcolare anche in altri modi. Per mostrare come si può calcolare il priimo dei due integrali utilizziamo un esempio.
Calcolare l’integrale \[\int \frac{x+4}{2x+5}\, dx\]
L’integrale si può calcolare in vari modi.
1° Modo.- Visto che la funzione integranda è una funzione fratta, caso particolare con binomi di primo grado al numeratore e al denominatore, si pò procedere, utilizzando il metodo d’integrazione delle funzioni razionali, dividendo il numeratore per il denominatore. Si ha come quoziente Q(x) = 1/2 e resto R(x) = 3/2 e di conseguenza \[\frac{x+4}{2x+5}=\frac{\frac{1}{2}\left ( 2x+5 \right )+\frac{3}{2}}{2x+5}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2x+5}\]
Quindi l’integrale diventa \[\int \frac{x+4}{2x+5}dx=\int \frac{1}{2}dx+\int \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2x+5}dx=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2x+5}dx=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\int \frac{2}{2x+5}dx=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}ln\left | 2x+5 \right |+c\]
2° Modo.- L’integrale si può calcolare per sostituzione con la posizione 2x+5 = t da cui dx = (1/2)dt
Si ha: \[\int \frac{x+4}{2x+5}dx=\int \frac{\frac{t-5}{2}+4}{t}\frac{1}{2}dt=\int \frac{t+3}{4t}dt=\int \frac{1}{4}dt+\frac{3}{4}\int \frac{1}{dt}=\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}ln\left | t \right |+\overline{c}\]
e sostituendo t = 2x+5 si ha l’integrale richiesto.
3° Modo.- Si può far comparire al numeratore la derivata del denominatore. Si ha: \[\frac{x+4}{2x+5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2(x+4)}{2x+5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+8}{2x+5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+5+3}{2x+5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+5}{2x+5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2x+5}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2x+5}\] Quindi l’integrale vale: \[\int \frac{x+4}{2x+5}dx=\int \frac{1}{2}dx+\frac{3}{2}\cdot \int \frac{1}{2x+5}dx=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}ln\left | 2x+5 \right |+c\]
Vogliamo ora vedere con un esempio come si può calcolare il secondo dei due integrali, cioè un integrale del tipo: \[\int \frac{mx+q}{x^{2}+\beta x+\gamma }dx\]
Quindi calcoliamo i seguenti due integrali \[\int \frac{1}{x^{2}+7x+12}dx\]
\[\int \frac{4x+5}{x^{2}+7x+12}dx\]
Evidentemente il delta del polinomio al denominatore è positivo e dunque stiamo nel caso delta positivo già esaminato ( qui ). Ora vogliamo vedere un altro modo di procedere. Il polinomio al denominatore si può scrivere come differenza di due quadrati \[x^{2}+7x+12=x^{2}+2\cdot \frac{7}{2}x+12+\frac{49}{4}-\frac{49}{4}=x^{2}+2\cdot \frac{7}{2}x+\frac{49}{4}+12-\frac{49}{4}=\left ( x+\frac{7}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\] e quindi si può ricondurre al seguente integrale fondamentale \[\int \frac{1}{1-x^{2}}dx=arctanh\, x+c=\frac{1}{2}ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right )+c\]
Ricordiamo che arctanh x = sett tanh x.
Precisamente vale la seguente formula: \[\int \frac{1}{x^{2}+\beta x+\gamma }dx=-\frac{2}{\sqrt{\Delta }}\cdot arctanh\left ( \frac{2x+\beta }{\sqrt{\Delta }} \right )+c,\, \, \Delta >0\]
Applicando tale formula si ha: \[\int \frac{dx}{x^{2}+7x+12}=-2arctanh\left ( 2x+7 \right )+c\] e però è anche vero \[\int \frac{dx}{x^{2}+7x+12}=ln\left | x+3 \right |-ln\left | x+4 \right |+c\]
Per quanto riguarda il secondo integrale facciamo comparire al numeratore la derivata del denominatore e si ha: \[\frac{4x+5}{x^{2}+7x+12}=\frac{2\left ( 2x+\frac{5}{2} \right )}{x^{2}+7x+12}=2\cdot \frac{2x+\frac{5}{2}}{x^{2}+7x+12}=2\cdot \frac{2x+7-7+\frac{5}{2}}{x^{2}+7x+12}=2\cdot \frac{2x+7}{x^{2}+7x+12}+2\frac{-7+\frac{5}{2}}{x^{2}+7x+12}=2\cdot \frac{2x+7}{x^{2}+7x+12}-9\cdot \frac{1}{x^{2}+7x+12}\]
Pertanto l’integrale vale: \[\int \frac{4x+5}{x^{2}+7x+12}=2ln\left | x^{2}+7x+12 \right |-9ln\left | x+3 \right |+9ln\left | x+4 \right |+c\]
Vale anche la seguente formula: \[\int \frac{mx+q}{x^{2}+\beta x+\gamma }=\frac{m}{2}\cdot ln\left | x^{2}+\beta x+\gamma \right |+\frac{m\cdot \beta -2q}{\sqrt{\Delta }}arctanh\left ( \frac{2x+\beta }{\sqrt{\Delta }} \right )+c\]
con delta positivo. Se invece fosse delta = 0 si avrebbe la seguente formula: \[\int \frac{mx+q}{x^{2}+\beta x+\gamma }dx=\frac{m}{2}ln\left ( x+\frac{\beta }{2} \right )^{2}+\left ( q-\frac{m\beta }{2} \right )\frac{-1}{x+\frac{\beta }{2}}+c\]