Una variabile casuale $\displaystyle X$ è una funzione definita sullo spazio campionario Ω che associa ad ogni elemento elementare $\displaystyle \omega _{i}\in \Omega$, un unico numero $\displaystyle x_{i}\in R$ :
$\displaystyle X:\Omega\rightarrow R$
ovvero
$\displaystyle \omega _{i}\in \Omega \rightarrow X\left ( \omega _{i} \right )=x_{i}\in R$
$\displaystyle \omega _{i}$ è un evento elementare e $\displaystyle x_{i}$ è (un numero reale) una determinazione della variabile casuale $\displaystyle X$. Possiamo assegnare ad ogni valore $x_{i}$ della variabile casuale X una probabilità: \[p\left ( X=x_{i} \right )=p_{i}\] i valori $\displaystyle p_{i}$ formano la distribuzione di probabilità della variabile casuale X. Le variabili casuali si indicano con lettere maiuscole ed i valori assunti con lettere minuscole.
\[x_{1},\, x_{2},\, x_{3},…,x_{n}\]
corrispondenti degli eventi causali, incompatibili e complementari,
\[\omega _{1},\, \omega _{2},\, \omega _{3},…,\omega _{n}\]
le cui probabilità sono rispettivamente uguali a:
\[p_{1},\, p_{2},\, p_{3},…,p_{n}\]
Risulta: \[\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\] probabilità dell’evento certo $\displaystyle E=\omega _{1}\cup \omega _{2}\cup \omega _{3}\cup …\cup \omega _{n}$ .
Osservazione.- I risultati di certi esperimenti non sono necessariamente numerici, quali ad esempio il lancio di una moneta, o l’estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi. E’ molto scomodo trattare direttamente gli eventi e la trattazione diventa più semplice ed efficace se associamo delle quantità numeriche agli eventi. L’introduzione del concetto di variabile casuale (o aleatoria) permette di tener conto proprio di questa esigenza, associando ad ogni risultato dell’esperimento un numero reale. Il vantaggio è quello di poter applicare alla risoluzione dei problemi di probabilità i potenti strumenti matematici.
a) Il valore medio di una variabile casuale X è dato da:
\[M(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\, p_{i}\]
se la variabile X è discreta;
\[M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx\]
se la variabile X è continua con funzione densità f(x).
Proprietà
Se a, b sono due costanti e X ed Y due variabili casuali si ha:
• $\displaystyle M(X+a)=M(X)+a$ ,
• $\displaystyle M(a\cdot X)=a\cdot M(X)$
• $\displaystyle M(a\cdot X +b)=a\cdot M(X)+b$
• $\displaystyle M(X +Y)=M(X)+M(Y)$
b) La varianza, $\displaystyle Var(X)$, di una variabile casuale X è:
\[Var(X)=\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\mu \right )^{2}p_{i}\]
se la variabile X è discreta;
\[Var(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }\left ( x-\mu \right )^{2}f(x)dx\]
se la variabile X è continua con funzione densità f(x)
con $\displaystyle M(X)=\mu$.
Ricordiamo che la varianza esprime il grado di variabilità della variabile casuale.
Proprietà
Se a, b sono due costanti e X una variabile casuali si ha:
- $\displaystyle Var(a)=0$
- $\displaystyle Var(a\cdot X)=a^{2}\cdot Var(X)$
- $\displaystyle Var(a\cdot X+b)=a^{2}\cdot Var(X)$
c) Lo scarto quadratico medio di una variabile casuale è: \[\sigma \left ( X \right )=\sqrt{Var(X)}\]
d) Moda
La moda è quel valore argomentale al quale corrisponde la probabilità più alta.
e) Mediana
La mediana è quel valore in corrispondenza del quale la funzione di ripartizione F(x) passa da valori minio o uguali ad 1/2 a valori maggiori di 1/2