I seguenti esercizi sono stati assegnati alla prova d’esame di Analisi matematica III di ingegneria civile. Per esercitarti in vista della tua prova d’esame prova a svolgerli.
Prova 1
N.1.- Risolvere il seguente problema di Cauchy \[\left\{\begin{matrix} y”-2y’+y &=xe^{x} \\ y(0) &=0 \\ y'(1) & =0 \end{matrix}\right.\]
N.2.- Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione \[f(x,y)=4x^{2}ye^{-(x+2y)}\]
nell’insieme A \[A=\left \{ \left ( x,y \right )\in R^{2} :x\geq 0,y\geq 0,x-y\leq 4\right \}\]
N.3.- Verificare se il seguente campo vettoriale \[\vec{v}(x,y)=\frac{logx}{y\sqrt{log^{2}x-y^{2}}}\left ( \frac{1}{x}\, \vec{i}-\frac{logx}{y}\, \vec{j} \right )\]
è conservativo e, in caso affermativo, calcolarne il potenziale
N.4.- Calcolare il seguente integrale doppio \[\int \int _{A}\left | senx-y \right |dxdy\] \[A=\left \{ \left ( x,y \right ):0\leq x\leq \pi ,\, 0\leq y\leq 1 \right \}\]
N.5.- Calcolare l’area della superficie cartesiana \[z=x+y^{2}\] con (x,y) in \[B=\left \{ \left ( x,y \right ):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1 \right \}\]
Prova 2
N.1.- Risolvere il seguente problema di Cauchy \[\left\{\begin{matrix} y’+ycosx &=\left ( e^{x-senx} \right )cosx \\ y(0)=0& \end{matrix}\right.\]
N.2.- Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione \[f(x,y)=x^{4}+y^{4}-8\left ( x^{2}+y^{2} \right )\] nel cerchio C di raggio 1 e centro O(0,0).
N.3.- Calcolare il flusso del vettore \[\vec{v}(x,y)=\left ( 4x^{2}+y \right )\vec{i}-\left ( x+y^{2} \right )\vec{j}\] uscente dalla frontiera di \[B=\left \{ \left ( x,y \right )\in R^{2} :\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\leq 1\right \}\]
N.4.- Sia A il cilindro retto che si proietta sul piano (x,y) nel cerchio di centro l’origine e raggio 2 compreso tra i piani di equazione z = 0 e z = 2. Calcolare l’integrale triplo \[\int \int \int _{A}y^{2}z\, dxdxydz\]
N.5.- Calcolare l’area della superficie \[S:\left\{\begin{matrix} x & =uv\\ y & =u+v\\ z & =u-v \end{matrix}\right.\]
con (u,v) nella porzione di cerchio di centro (0,0) e raggio 1 contenuta nel primo quadrante