Problemi svolti di trigonometria

In questa pagina mostriamo lo svolgimento di alcuni problemi di trigonometria, alcuni inseriti anche nel mio canale Youtube Matematica Facile

Esempio 1.- Problema svolto di trigonometria: Nel triangolo ABC l’ipotenura BC misura 2m e l’angolo \[A\hat{B}C=30^{\circ}\]
Determinare un punto P dell’altezza AH relativa all’ipotenusa in modo che si abbia \[3\overline{AC}^{2}-\overline{CP}^{2}=\overline{PB}^{2}\]

Risoluzione

Indichiamo con x l’angolo PCH \[P\hat{C}H=x\], con 0 < x < 90°.

Nel triangolo rettangolo ABC si ha

\[\overline{AC}=\overline{BC}sen30^{\circ}=2m\frac{1}{2}=m\]

e quindi nel triangolo rettangolo PCH si ha

\[\overline{CH}=\frac{m}{2}\]

da cui \[\overline{CP}=\frac{\overline{CP}}{cosx}=\frac{m}{2cosx}\]

Nel triangolo PBC applichiamo il teorema del coseno per calcolare PB al quadrato

\[\overline{PB}^{2}=\overline{PC}^{2}+\overline{BC}^{2}-2\overline{PC}\cdot \overline{BC}cos(B\hat{C}P)=\frac{m^{2}}{4cos^{2}x}+4m^{2}-2a^{2}=\frac{m^{2}}{4cos^{2}x}+2m^{2}\]

Finalmente impostiamo l’equazione per calcolare l’incognita x utilizzando quella assegnata dal problema. Si ha \[\frac{m^{2}}{4cos^{2}x}+2m^{2}=3m^{2}-\frac{m^{2}}{4cos^{2}x}\Rightarrow 1=4cos^{2}x\Rightarrow x=45^{\circ}\]

Esempio 2.- Su una semicirconferenza di diametro AB = 2r si prenda un punto P e detto Q il punto mediio dell’arco PB si determini la posizione di P in modo che \[\overline{AQ}^{2}+\overline{PB}^{2}=6r^{2}\]

Risoluzione
Indichiamo con 2x l’angolo APB ed essendo Q punto medio dell’arco PB si ha che l’angolo AQB = x. Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli al triangolo APB e al triangolo AQB si ha: \[\overline{PB}=\overline{AB}sen2x=2rsen2x,\, \, \overline{AQ}=\overline{AB}cosx=2rcosx\]

Di conseguenza sostituendo nell’equazione assegnata dal problema si ha:

\[\overline{AQ}^{2}+\overline{PB}^{2}=6r^{2}\Rightarrow (2rsen2x)^{2}+(2rcosx)^{2}=6r^{2}\]

ossia\[8cos^{4}x-10cos^{2}x+3=0\]

da cui l’unica soluzione accettabile è x = 30°.

 

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