Se T è il periodo anche $\displaystyle k\cdot T$ lo è, con k intero positivo; dunque D non può essere limitato.
Le funzioni goniometriche elementari sono periodiche: y = sen x e y = cos x hanno periodo $\displaystyle 2\pi$, mentre y = tan x e y = cot x hanno periodo $\displaystyle \pi$. Secante e cosecante sono periodiche di periodo $\displaystyle 2\pi$.
La funzione $\displaystyle y=sen\left ( \pi x \right )$ è periodica di periodo 2, dunque anche di periodo 2n, con n >1.
La funzione costante y = c soddisfa alla definizione di funzione periodica per ogni T reale, e dunque ogni T reale positivo ne è il periodo. Le funzioni y = sen x e y = cos x hanno i seguenti periodi $\displaystyle 2\pi ,4\pi ,6\pi,…,$ però $\displaystyle 2\pi$ è quello minimo e dunque è il periodo.
Stabilire delle regole per determinare il periodo di una qualsiasi funzione non è possibile, nemmeno regole per dedurre il periodo di funzioni ottenute mediante somme, prodotti o composizioni di funzioni periodiche.
Ricordiamo però:
- Se y = f(x) è una funzione periodica di periodo T, allora la funzione $\displaystyle y=f\left ( kx+q \right )$, con k reale diverso da zero, è periodica di periodo T/|k|.
- Se y = f(x) e y = g(x) sono due funzioni periodiche con periodi $\displaystyle T_{1}\, \, e\, \, T_{2}$ rispettivamente, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma $\displaystyle y=f(x)\pm g(x)$, prodotto $\displaystyle y=f(x)\cdot g(x)$ , quoziente $\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.
- Se y = f(x) e y = g(x) sono periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto e quoziente hanno periodo minore o uguale al periodo comune T.
- Se y = f(x) è una funzione circolare elementare ( sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x) di periodo T allora le funzioni indicate nella seguente tabella hanno il periodo indicato a fianco:
Esempio 1.- Determinare il periodo della funzione $\displaystyle y=7tan(8x-\frac{\pi }{3})$. La funzione y = sen x ha periodo $\displaystyle T=2\pi$, ed essendo k = 8 la funzione data ha periodo
\[T=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}\]
Esempio 2.- Determinare il periodo della funzione $\displaystyle y=tan\left ( \frac{3}{2 }x-\frac{\pi }{6} \right )$ . La funzione y = tan x ha periodo $\displaystyle T=\pi$, ed essendo k = 3/2 la funzione data ha periodo $\displaystyle T=\frac{\pi }{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\pi$
Esempio 3.- Determinare il periodo della funzione $\displaystyle y=cot\left ( -\frac{1}{4 }x-\frac{\pi }{3} \right )$ . La funzione y = cot x ha periodo $\displaystyle T=\pi$, ed essendo k = – 1/4 e $\displaystyle \left | -\frac{1}{4} \right |=\frac{1}{4}$ la funzione data ha periodo $\displaystyle T=\frac{\pi }{\left | -\frac{1}{4} \right |}=4\pi$.
Esempio 4.- La funzione y = sen(4x) + sen(3x) è periodica di periodo $\displaystyle p=2\pi$.
Infatti, osservato che la funzione sen (4x) ha periodo $\displaystyle T_{1}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ e che la funzione sen (3x) ha periodo $\displaystyle T_{2}=\frac{2\pi }{3}$ , si deduce che il periodo T della funzione data è il minimo comune multiplo dei periodi:
$\displaystyle T=\frac{12\pi }{6}=2\pi$
il che si ricava riducendo i singoli periodi allo stesso denominatore, calcolando poi il minimo comune multiplo dei numeratori e considerando infine il rapporto tra il m.c.m. calcolato e il denominatore comune.
Esempio 5.- Calcolare il periodo della funzione y = cos(5x) + tan(7x).
Esempio 6.- Calcolare il periodo della funzione $\displaystyle y=\left | cos\, 6x \right |-[tan(9x)]^{10}$
Esempio 7.- Calcolare il periodo della funzione:
$\displaystyle y=\sqrt[4]{senx},\, y=\sqrt[4]{senx-3},\, y=\sqrt[5]{senx-7}$
Esempio 8.- Calcolare il periodo della funzione
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