Il libro mi fu consigliato dal professore Zitarosa della facoltà di Napoli proprio durante un colloquio (richiesta di spiegazione) a riguardo del Teorema di integrabilità di Riemann, ove avevo colto un caso notevole per il quale non era applicabile.
Il libro è indicato per studenti e professori e tratta controesempi sui numeri reali, sulle funzioni e sui limiti, funzioni continue, derivate, integrazione, successioni, serie, convergenza uniforme, funzioni di due variabili, ma anche spazi metrici e topologici e spazi funzionali.
Esempio 1.- Capitolo I (Sistema dei numeri reali). Un campo ordinato ma non completo
Esempio 2.1- Capitolo II (Funzioni e limiti). Una funzione mai continua il cui valore assoluto è ovunque continuo.
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 &se\, x\, \, razionale \\ -1 & \, se\, x\, \, irrazionale \end{matrix}\right.$
Esempio 2.2- Capitolo II – Una funzione continua in un sol punto
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x &se\, x\, \, razionale \\ -x & \, se\, x\, \, irrazionale \end{matrix}\right.$
Esempio 3.1.- Capitolo III (Derivate) – Una funzione che non è una derivata.
Esempio 3.2- Capitolo III Una funzione derivabile con derivata discontinua.
Esempio 4.1- Capitolo IV (Integrazione secondo Riemann). Una funzione definita e limitata su un intervallo chiuso ma ivi non integrabile secondo Riemann.
Esempio 4.2.- Capitolo IV – Una funzione integrabile secondo Riemann che non ha primitiva.
Esempio 5.- Capitolo V (Successioni). Successioni divergenti limitate.
Esempio 6.- Capitolo VI (Serie). Una serie divergente il cui termine generale tende a zero.
Esempio 7.- Capitolo VI – Una serie convergente che può venire riordinata in modo da diventare divergente.
Esempio 8.- Capitolo VI – Una serie trigonometrica convergente che non è una serie di Fourier.
Esempio 9.- Capitolo VII (Convergenza uniforme). Una successione di funzioni discontinue dappertutto che converge uniformemente ad una funzione continua dappertutto.
Esempio 10.1- Capitolo IX (Funzioni di due variabili). Una funzione di due variabili discontinua che è continua rispetto a ciascuna delle due variabili prese separatamente.
\[f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 &se\, \, x=y=0 \\ \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & se\, \, x^{2}+y^{2}\neq 0 \end{matrix}\right.\]
Esempio 10.2.- Capitolo IX – Una funzione di due variabili che non ha limite nell’origine ma tale che, se ci si avvicina all’origine lungo una qualunque retta, il limite è zero.
\[f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 &se\, \, x=y=0 \\ \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} & se\, \, x^{2}+y^{2}\neq 0 \end{matrix}\right.\]
Esempio 10.3.- Capitolo IX – Una funzione di due variabili discontinua (dunque non differenziabile) che ha dovunque derivate parziali prime.
Esempio 10.4.- Capitolo IX – Un differenziale ed una regione piana di R in cui è esatto localmente ma non è esatto.
Esempio 11.- Capitolo X (Insiemi piani).
Esempio 12.- Capitolo XI (Area).Un insieme piano compatto senza area.
Esempio 13.1.- Capitolo XII (Spazi metrici e topologici). Una successione decrescente di cerchi chiusi non vuote in uno spazio metrico completo, con intersezione vuota.
Esempio 13.2.- Capitolo XII – Cerchi chiusi $\displaystyle S_{1}$ e $\displaystyle S_{2}$ , rispettivamente di raggi $\displaystyle r_{1}$ e $\displaystyle r_{2}$ , tali che $\displaystyle S_{1}\subset S_{2}$ , ma $\displaystyle r_{1}>r_{2}$.
Esempio 14.1.- Capitolo XIII (Spazi funzionali). Due funzioni monotone la cui somma non è monotona.
$\displaystyle y=senx+2x,\, \, \, \, y=senx-2x\, \, \, su\, [-\pi ,\pi ]$
Esempio 14.2.- Capitolo XIII – Due funzioni periodiche la cui somma non è periodica.
$\displaystyle y=senx,\, \, \, \, y=sen\, \alpha x\,\, \, \, \, con\,\, \alpha \, irrazionale,\, \, su\,\left ( -\infty ,+\infty \right )$