I numeri primi gemelli

I numeri primi gemelli sono i numeri primi che differiscono di due unità, fatta eccezione per i primi gemelli 2 e 3 che differiscono di una unità.
Alcune coppie di numeri primi gemelli sono:(3,5), (5,7), (11,13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ((59, 61), (71, 73), (101, 103)...
Il numero cinque è gemello sia con 3 che con 7.
Nessun sa se le coppie di primi gemelli sono infinite.
Nel 1966 il matematico cinese Chen Jing-run dimostrò che esiste un numero infinito di coppie di numeri che differiscono di 2 in cui il primo numero è un primo e il secondo è o primo o prodotto di due primi.

Una formula che dà con buona probabilità (almeno per valori non troppo alti di n) numeri primi gemelli (p, p+2) è la seguente:

p = 6n - 1,   con n primo

ma vi sono valori di n che fanno difetto. Il primo che fa difetto è il numero n = 31.
Infatti per n = 31 si ottiene la coppia (185, 187), e nessuno dei due numeri è primo, 187 è prodotto di due primi 

187 = 13 ´ 7.
Non è vero che (6n - 1, 6n + 1) formano una coppia di primi gemelli per qualunque n primo tale che 6n non sia multiplo di cinque.
Infatti,  per n = 643 si ottiene il numero 3858 non divisibile per cinque, ma la coppia (3857, 3859) non è una coppia di primi gemelli:  3857 = 7 x 17 x 19,  3859 = 17 x 227.

Ogni coppia di primi gemelli maggiore di 3 è della forma (6n - 1, 6n + 1) per qualche numero naturale n ( con l'eccezione di n = 1 ) e n deve terminare in 0, 2, 3, 5, 7, o 8.

È stato dimostrato che (n, n + 2) è una coppia di primi gemelli se e solo se 4[(n-1)!+1] = -n,       mod [n(n+2)]La più grande coppia di primi gemelli nota è 2003663613 · 2195000 ± 1; fu trovata il 15 gennaio 2007.

Erdős dimostrò nel 1940 che esiste una costante c < 1 e infiniti numeri primi p tali che:

p' - p < c ln (p)

dove p' è il primo successivo a p.
Helmut Maier dimostrò nel 1986 che per la costante c può essere usato un valore minore di 0,25. 

Brun dimostrò anche che il numero dei primi gemelli p minore o uguale a p / [ ln (p^2)].
Nel 1919 Brun dimostrò che la  somma dei reciproci dei numeri primi gemelli converge (mentre diverge la serie dei reciproci dei numeri primi):

B( 1/3 + 1/5 ) + ( 1/5 + 1/7 ) + ( 1/11 + 1/13 ) + (1/17 + 1/19) + ...

B2 si dice costante di Brun.

Polignac nel 1849 enunciò la congettura generalizzata dei primi gemelli: per ogni numero naturale h, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2h.
La congettura per h =1  diventa quella dei primi gemelli.

I matematici inglesi Hardy e Littlewood, indicando con  pi greco (x) il numero dei primi p minori o uguali ad x tale che p+2 sia primo, proposero congettura di Hardy e Littlewood: 

...

ove il quoziente tra il primo e il secondo membro tende ad 1 quando x tende all'infinito, la costante C2 dei numeri primi è

Nel 1966, Chen Jingrun dimostrò che esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 è o un primo o un semiprimo (cioè il prodotto di due primi).

Definendo un numero primo di Chen un numero primo p tale che p + 2 sia un primo o un semiprimo, Terence Tao e Ben Green dimostrarono nel 2005 che esistono infinite triplette di primi di Chen in progressione aritmetica.

Zhang Yitang nell'aprile del 2013 ha dimostrato che esistono coppie infinite di numeri primi distanti tra loro meno di 70 milioni e successivamente Tao, Morrison e Sutherland, con il nuovo approccio del giovane James Maynard, hanno ridotto la distanza tra i primi da 70 milioni a 600.

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