$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\, \, \, \, \, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
si dicono condizioni di olomorfia o di monogeneità, e si dicono condizioni di Cauchy – Riemann
Ricordiamo che una funzione olomorfa in A è anche continua in A e che una funzione olomorfa in un campo A è dotata in A di derivata di ordine comunque elevato.
La parte reale e il coefficiente dell’immaginario di una funzione olomorfa in un campo A, sono soluzioni in A dell’equazione
$\displaystyle \frac{\partial^2 \varphi }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi }{\partial y^2}=0$
detta equazione di Laplace, è del secondo ordine alle derivate parziali. Ogni soluzione di tale equazione si dice una funzione armonica.
Derivate delle funzioni elementari nel campo complesso
\[\frac{d\, e^{z}}{dz}=e^{^{z}}\]
\[\frac{d\, sen\, z}{dz}=cos\, z.\frac{d\, cos\, z}{dz}=-sen\, z\]
\[\frac{d\, senh\, z}{dz}=cosh\, z.\frac{d\, cosh\, z}{dz}=senh\, z\]
\[\frac{d\,tan\, z}{dz}=\frac{1}{cos^{2}z}\]
\[\frac{d\,tanh\, z}{dz}=\frac{1}{cosh^{2}\, z}, n intero\]
\[\frac{d\, log\, z}{dz}=\frac{1}{z}\]
\[\frac{d\, log\, f(z)}{dz}=\frac{f'(z)}{f(z}\]
\[\frac{d\, z^{\alpha }}{dz}=\frac{d\, e^{\alpha\cdot logz }}{dz}=\alpha\cdot z^{\alpha -1}\]
$\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}^{n}=n\cdot z^{n-1},\, \, \, \, \, n\: \: intero$
\[\frac{d\,arcsen\, z}{dz}=\pm \frac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}\]
\[\frac{d\,arccos\, z}{dz}=\mp \frac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}\]
\[\frac{d\,arctan\, z}{dz}=\frac{1}{1+z^{2}}\]
\[\frac{d\,arcsenh\, z}{dz}=\pm \frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\]
\[\frac{d\,arccosh\, z}{dz}=\pm \frac{1}{\sqrt{z^{2}-1}}\]
\[\frac{d\,arctanh\, z}{dz}=\frac{1}{1-z^{2}}\]
Regole di derivazione nel campo complesso
Derivata di una somma
$\displaystyle \mathit{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\left [ a\cdot f(z)+b\cdot g(z) \right ]=a\frac{\mathrm{d\, f(z)} }{\mathrm{d} z}+b\frac{\mathrm{d\, g(z)} }{\mathrm{d}z}}$
Derivata di un prodotto
$\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\left [ f(z)\cdot g(z) \right ]=f(z)\frac{\mathrm{d\, g(z)} }{\mathrm{d} z}+g(z)\frac{\mathrm{d\, f(z)} }{\mathrm{d} z}$
Derivata di un rapporto
$\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\left [ \frac{f(z)}{g(z)} \right ]=\frac{f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{g(z)^{2}}$
con g(z) diverso da zero.
Derivata di una funzione composta $\displaystyle w=f\left ( g\left ( z \right ) \right )$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}f\left ( g\left ( z \right ) \right )=f'(g(z))\cdot g'(z)$
Derivata di un funzione inversa.- Se z = g(w) è la funzione inversa della funzione w = f(z), olomorfa, allora la derivata di g(w) è:
$\displaystyle g'(w)=\frac{\mathrm{d} g(w)}{\mathrm{d} w}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} f(z)}{\mathrm{d} z}}=\frac{1}{f'(z)}$