Esempio 1.- Calcolare il seguente integrale $\displaystyle \int_{1}^{2}\left ( xy^{3}+x^{4}-2y \right )dx$
Consideriamo la y come costante e integriamo su x e si ha:
$\displaystyle \int_{1}^{2}\left ( xy^{3}+x^{4}-2y \right )dx=\left [ \frac{x^{2}}{2}y^{3}+\frac{x^{5}}{5}-2xy \right ]_{1}^{2}=\frac{3}{2}y^{3}-2y+\frac{31}{5}$
Nell’esempio abbiamo calcolato l’integrale di una funzione di due variabili f(x,y) ritenendo assegnato il valore di y e dunque considerata costante, l’integrale duqnue è stato calcolato rispetto ad x ottenndo una funzione di y. Se la funzione f(x,y) è continua in un certo intervallo la procedura si può sempre eseguire.
Data una funzione f(x,y) definita e continua nell’intervallo I definito dalle limitazioni $\displaystyle a\leq x\leq b,\, \, \, \, c\leq y\leq d$ e assegnato alla y un qualsiasi valore compreso tra c e d si ottiene una funzione continua nella variabile x definita nell’intervallo [a,b] e dunque esiste l’integrale $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x,y)dx$ ossia si può considerare la funzione:
$\displaystyle F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx$ .
definita nell’intervallo [c, d]. A questo integrale si dà il nome di integrale definito dipendente dal parametro y e si calcola considerando la y come costante.