Definizione di integrale doppio
Consideriamo un riferimento cartesiano Oxy del piano e sia D un insieme di tale piano, limitato, chiuso, non vuoto e misurabile, e f(x,y) una funzione numerica continua in D.
Si chiama integrale doppio della funzione f(x,y) estesa all’insieme D, il seguente limite
\[\lim_{\delta \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f\left ( u_{i},v_{i} \right )\cdot misD_{i}\]
e si indica con uno dei simboli:
\[\int \int _{D}f(x,y)dxdy,\, \, \, \int \int _{D}f(p)dp\]
ove $\displaystyle D_{i}$ sono sottoinsiemi chiusi e misurabili di D e formano una partizione di D, e $\displaystyle p_{i}\left ( u_{i},v_{i} \right )\in D$ , mentre $\displaystyle misD_{i}$ è l’area di $\displaystyle D_{i}$ per ogni i.
Formula di riduzione
Sia f(x,y) una funzione di due variabili definita nel dominio D, normale rispetto all’asse x, e ivi continua, si può allora definire l’integrale doppio esteso al dominio D della funzione di due variabili e sussiste la seguente formula di riduzione a due integrali semplici:
$\displaystyle \iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{\alpha (x)}^{\beta(x) }f(x,y)dy$
Sia f(x,y) una funzione di due variabili definita nel dominio D, normale rispetto all’asse y, e ivi continua, si può allora definire l’integrale doppio esteso al dominio D della funzione di due variabili e sussiste la seguente formula di riduzione a due integrali semplici:
$\displaystyle \iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{c}^{d}dy\int_{\gamma (x)}^{\delta (x) }f(x,y)dx$
Se il dominio D è normale sia rispetto ad x che rispetto ad y si ha:
$\displaystyle \int_{a}^{b}dx\int_{\alpha \left ( x \right )}^{\beta \left ( x \right )}f(x,y)dy=\int_{c}^{d}dy\int_{\gamma (x)}^{\delta (x) }f(x,y)dx$
Esempio 1.- Calcolare il seguente integrale doppio… clicca qui
Cambiamento di variabili in un integrale doppio.- L’integrale doppio nelle variabili x ed y
$\displaystyle \iint_{D}f\left ( x,y \right )dxdy$
si può riscrivere nel seguente modo
$\displaystyle \iint_{D}f\left ( x,y \right )dxdy=\iint_{E}f\left [ \varphi \left ( u,v \right ),\phi \left ( u,v \right ) \right ]\cdot \left | J \right |dudv$
con $\displaystyle x=\varphi (u,v),\, \, \, y=\phi (u,v)$ e $\displaystyle J=\begin{vmatrix} \, \frac{\partial \varphi }{\partial u} &\frac{\partial \varphi }{\partial v} \\ & \\ \, \frac{\partial \phi }{\partial u} & \frac{\partial \phi }{\partial v} \end{vmatrix}$ Jacobiano non nullo.
Il cambiamento di variabili in un integrale doppio si esegue sostituendo nella funzione integranda alle x, y le loro espressioni nelle nuove variabili u e v, $\displaystyle x=\varphi (u,v),\, \, \, y=\phi (u,v)$, moltiplicando quindi per il valore assoluto del determinante funzionale (Jacobiano), non nullo, della sostituzione, ed estendendo il nuovo integrale al dominio E, corrispondente del dominio D, sul piano uv.
Nel caso particolare in cui si passa da coordinate cartesiane x, y a coordinate polari $\displaystyle \rho ,\theta$ con $\displaystyle x=\rho \cdot cos\theta ,\, \, y=\rho sen\theta$ lo jacobiano è $\displaystyle \rho$ e la formula di trasformazione è la seguente:
$\displaystyle \iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{E}f(\rho cos\theta ,\, \rho sen\theta )\rho d\rho d\theta$
Esempio 2.- Calcolare il seguente integrale doppio $\displaystyle \iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dxdy$ dove D è la semicorona circolare di centro in O (origine degli assi) e raggi 1 e 2.