Si dice conica l’insieme dei punti del piano le cui coordinate, in un riferimento Oxy, verificano una equazione del tipo:
\[1)\, \, \, ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\]
con a, b, c, d, e, f numeri reali non tutti nulli.
Il numero reale:
\[\Delta =a\left ( cf-\frac{e^{2}}{4} \right )-\frac{b}{2}\left ( \frac{bf}{2}-\frac{ed}{4} \right )+\frac{d}{2}\left ( \frac{be}{4}-\frac{cd}{2} \right )\]
si dice determinante della conica d’equazione (1).
RICORDIAMO CHE
a) Se è $\displaystyle \Delta =0$ la conica (1) si dice riducibile o degenere, e si sdoppia in una coppia di rette eventualmente coincidenti o parallele, che si dicono componenti della conica.
b) Se è $\displaystyle \Delta \neq 0$ la conica (1) si dice irriducibile o non degenere.
Risulta:
i) la (1) rappresenta un’ellisse se:\[\delta =ac-\frac{b^{2}}{4}>0\]
ii) la 1) rappresenta un’iperbole se: \[\delta =ac-\frac{b^{2}}{4}<0\]
iii) la (1) rappresenta una parabola se:\[\delta =ac-\frac{b^{2}}{4}=0\]
Notiamo che nell’ipotesi $\displaystyle \delta >0$ la (1) è:
- un’ellisse reale se: $\displaystyle \alpha \cdot \Delta <0$
- un’ellisse immaginaria se: $\displaystyle \alpha \cdot \Delta >0$.
Un caso particolare dell’equazione (1) si ha per b = 0, riducendo l’equazione della conica alla seguente $\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+dx+ey+f=0$