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Matrici determinanti e matrice inversa

Matrici determinanti e matrice inversa

Generalità sulle matrici
a) Si dice matrice a coefficienti realidi di tipo [m , p] ogni tabella del tipo: \[\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &… &a_{1p} \\ a_{21} &a_{22} &… & a_{2p}\\ … & & & \\ … & & & \\ a_{m1} &a_{m2} &… & a_{mp} \end{bmatrix}\] avente m righe e p colonne.

I numeri \[a_{ij}\]  con i = 1, 2, …,m ed  j = 1, 2, …, p  sono gli elementi della matrice A, i si chiama indice di riga e j indice di colonna. Una matrice si dice nulla se tutti i suoi elementi sono nulli.

Se p =1 la matrice ha un sola colonna e si indica con il simbolo: \[A=\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{12}\\ …\\ …\\ a_{m1} \end{bmatrix}\] si dice anche vettore colonna, mentre se m = 1 la matrice ha una sola riga e si indica con il simbolo:\[A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &… & a_{1p} \end{bmatrix}\] si dice anche vettore riga. Per indicare la generica riga della matrice (la riga i-sima) si usa il simbolo:\[\begin{bmatrix} a_{i1} &a_{i2} &… & a_{ip} \end{bmatrix}\] mentre per indicare la generica colonna (la colonna j-sima) si usa il simbolo: \[\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{1j}\\ …\\ …\\ a_{mj} \end{bmatrix}\]

Se m = n la matrice si dice quadrata d’ordine n, mentre se m è diverso da n la matrice si dice rettangolare.

b) Determinante di una matrice quadrata

Si dice determinante di una matrice $\displaystyle A=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}$ quadrata d’ordine e il seguente numero reale:

\[detA=\begin{vmatrix} a &b \\ c & d \end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c\]

Esempio 1.- Calcolare il determinante della matrice $\displaystyle A=\begin{bmatrix} -\frac{2}{3} &-4 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}$

Si ha: \[detA=\left ( -\frac{2}{3} \right )\left ( -1 \right )-\left ( -4 \right )\left ( 5 \right )=\frac{2}{3}+20=\frac{62}{3}\]

Esempio 2.- Calcolare il determinante della matrice \[\begin{bmatrix} log_{2}3 &-log_{2}4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}\]

Si ha: \[\begin{vmatrix} log_{2} 3&-log_{2}4 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}=3log_{2}3-2log_{2}4=log_{2}27-log_{2}16=log_{2}\frac{27}{16}\]

c) Matrice inversa di una matrice quadrata

Data la matrice \[A=\begin{bmatrix} a &b \\ c&d \end{bmatrix}\] quadrata d’ordine 2, 2 righe e due colonne, con il determinante diverso da zero. Allora la sua matrice inversa esiste ed è \[A^{-1}=\begin{bmatrix} d &-b \\ -c & a \end{bmatrix}\cdot \frac{1}{detA}\]

Esempio 1.- Determinare la matrice inversa della matrice \[A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\]

Il determinante della matrice A è 6, quindi la matrice inversa esiste ed è:\[A^{-1}=\begin{bmatrix} 0&-2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\cdot \frac{1}{6}=\begin{bmatrix} 0&-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} &\frac{1}{6} \end{bmatrix}\]

Esempio 2.- Determinare la matrice inversa della matrice \[A=\begin{bmatrix} 1& 0&1 \\ 2& -1&0 \\ -1& 3&0 \end{bmatrix}\]

Vogliamo calcolare la matrice inversa, in questo caso, con la definizione di matrice inversa. Cominciamo ad osservare che il determinante della matrice A è diverso da zero, il che garantisce che la matrice inversa esiste. Dunque una matrice B quadrata d’ordine 3 si dice inversa della matrice quadrata A d’ordine  3 se \[A\times B=I\] ove $\displaystyle I$ è la matrice identità d’ordine 3:\[I=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}\]

Pertanto da $\displaystyle A\times B=I$ si ha: \[\begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 2 & -1 &0 \\ -1 & 3 &0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \\ x_{4} &x_{5} &x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}\]

Risolto il sistema \[\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{7} &=1 \\ x_{2}+x_{8} & =0\\ x_{3}+x_{9} &=0 \\ 2x_{1}-x_{4} &=0 \\ 2x_{2}-x_{5} &=1 \\ 2x_{3}-x_{6} &=0 \\ -x_{1}+3x_{4} &=0 \\ -x_{2}+3x_{5} &=0 \\ -x_{3}+3x_{6} &=1 \end{matrix}\right.\]

si vede che la matrice B, inversa di A, è:\[B=\begin{bmatrix} 0 &\frac{3}{5} &\frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} &\frac{2}{5} \\ 1 & -\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}\]

Esiste però un altro metodo più rapido per calcolare la matrice inversa (Matrici e sistemi lineari).

Esempio 3.- Determinare se esiste la matrice inversa della matrice \[A=\begin{bmatrix} -1&4 \\ -3 & 12 \end{bmatrix}\]

Non esiste la matrice inversa di A perché \[detA=\left ( -1 \right )\cdot \left ( 12 \right )-\left ( 4 \right )\left ( -3 \right )=-12+12=0\]