Con il simbolo: \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{i=1}^{\infty }x_{i}=x_{1}+x_{2}+…+x_{n}+…\]si indica una serie numerica di termine generale \[x_{n}\] generata dalla successione di numeri reali\[x_{1},\, x_{2},…,x_{n}…\]
Se la successione\[S_{1},\, S_{2},…,S_{n}…\]delle somme ridotte n – sime: \[\begin{matrix} S_{1} &=x_{1} \\ S_{2} &=x_{1}+x_{2} \\ … & \\ S_{n} &=x_{1}+x_{2}+…+x_{n} \\ … & \end{matrix}\]è convergente ad un numero finito S \[S=\lim_{n}S_{n}\] allora la serie si dice convergente e\[S=x_{1}+x_{2}+…+x_{n}+…=\sum_{i=1}^{\infty }x_{i}\]mentre se la successione\[S_{1},S_{2},…,S_{n},…\]ha limite infinito si dice che la serie diverge o che ha somma infinita.
Una serie che sia convergente o divergente si dice regolare.
Il numero \[R_{n}=S-S_{n}=x_{n+1}+x_{n+2}+…\]si dice resto n – simo della serie e, se la serie è convergente, si ha \[\lim_{n}R_{n}=0\]
Ricordiamo
Una serie si dice a termini positivi se \[x_{i}>0\, \, \, \, \forall i\] mentre si dice alternante se i suoi termini hanno segno alternativamente positivo e negativo.
Una serie si dice assolutamente convergente se risulta convergente la serie dei valori assoluti dei suoi termini.
Proprietà fondamentali delle serie
a) Se \[\sum_{i=1}^{+\infty }x_{i},\, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{i=1}^{+\infty }y_{i}\]sono due serie convergenti rispettivamente ai numeri S’ ed S” allora risultano convergenti anche le serie: \[\sum_{i=1}^{+\infty }px_{i},\, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{i=1}^{+\infty }(x_{i}+y_{i})\] con \[p\in R-\left \{ 0 \right \}\] e si ha:\[\sum_{i=1}^{+\infty }px_{i}=p\cdot {S}’,\, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{i=1}^{+\infty }(x_{i}+y_{i})={S}’+{S}”\]
b) Se in una serie convergente (divergente) si alterano in modo arbitrario i valori di un numero finito di termini si ottiene ancora una serie convergente (divergente)
c) Una serie a termini positivi è sempre regolare.
d) Una serie a termini positivi che sia maggiorata da una serie convergente è anch’essa convergente
e) Una serie a termini positivi che sia minorata da una serie divergente è anch’essa divergente
f) Una serie assolutamente convergente è convergente.
g) La somma di una serie assolutamente convergente (o convergente e a termini positivi) non si altera cambiando arbitrariamente l’ordine dei suoi termini.