Applicazione degli integrali al calcolo delle aree e dei volumi

a) Sia y = f(x) una funzione definita, continua e non negativa nell’intervallo chiuso [a,b] di R.
L’area S del rettangoloide ABCD ( fig. 1) delimitata dalla curva y = f(x), dall’asse x e dalle rette x = a ed x = b è:

\[1)\, \, \, \, \,\, \, \, S=\int_{a}^{b}f(x)dx\]

 

Nel caso la curva d’equazione y = f(x) sia situata nell’intervallo chiuso [a,b] sia al di sopra che al di sotto dell’asse x (fig. 2) si ha:

\[2)\, \, \, \, \,\, \, \, S=S_{1}+S_{2}=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}-f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx-\int_{c}^{b}f(x)dx=\]

b) Siano y = f(x) e y = h(x) due funzione definite, continue e non negative nell’intervallo chiuso [a,b] e tali che \[f(x)\geq h(x),\, \, \, \, \, \forall x\in \left [ a,b \right ]\]

L’area S della regione finita di piano delimitata dalle due curve e dalle rette x = a ed x = b è:

\[3)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \int_{a}^{b}\left ( f(x)-h(x) \right )dx\]

Nel caso particolare rappresentato in figura 4 l’area dellla figura convessa ABCD determinata dalle funzioni y = f(x), y = g(x), y= h(x), y= v(x) definite e continue rispettivamente negli intervalli [a,b] [b,c] [c,d] [d,a] si può calcolare l’area S mediante la formula:

\[4)\: \: \: \: \: S=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}g(x)dx+\int_{c}^{d}h(x)dx+\int_{d}^{a}v(x)dx\]

c) Volume di un solido in rotazione.
Sia y = f(x) una funzione definita e continua in [a,b] e tale che \[f(x)\geq 0\: \: \: \: \forall x\in \left [ a,b \right ]\]

Il volume V del solido (fig. 5) ottenuto facendo ruotare di 360° la curva y = f(x) intorno all’asse x, e delimitato dai piani ortogonali all’asse x passanti per i punti A(a,0) e B(b,0) è dato dalla formula:

\[5)\: \: \: \: \: V=\pi \int_{a}^{b}\left [ f(x) \right ]^{2}dx\]

Esempio 1.- Determinare l’area della parte di piano compresa tra la curva di equazione y = x^3 , l’asse x e la retta x = 2.

Come primo passo bisogna costruire la figura (fig. 6), disegnando in un piano Oxy la curva d’equazione y = x^3 , l’asse x e la retta x = 2.

Quindi si individuano la regione finita di piano richiesta, gli estremi d’integrazione x = 0 e x = 2, e si calcola l’area: \[S=\int_{0}^{2}x^{3}dx=\left [ \frac{x^{4}}{4} \right ]_{0}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4\]

Esempio 2.- Determinare l’area della parte di piano delimitata dalle curve di equazioni \[y=x^{2},\, \, \, \, y=-x^{2}+4x\]

Costruita la figura (fig. 7) si vede che l’area S è data da: \[S=\int_{0}^{2}(-x^{2}+4x)dx-\int_{0}^{2}x^{2}dx=\frac{8}{3}\]

Esempio 3.- Determinare l’area della parte di piano compresa tra le curve di equazione y = 4x , y = – (1/4)x^2 + 2x e y = -2x + 12.

L’area S della figura convessa OAV (fig. 8) si può calcolare nel seguente modo:

\[S=\int_{0}^{2}4xdx-\int_{2}^{4}()-2x+12)dx+\int_{4}^{0}\left ( -\frac{1}{4}x^{2}+2x \right )dx=\frac{124}{3}\]

 

 

Esempio 4.- Determinare il volume V del solido ottenuto facendo ruotare di 360° l’arco OP della parabola d’equazione y = – (1/4)x^2 + 2x , ove P è il vertice della parabola, intorno all’asse x.

Il volume V del solido (fig. 9) OPP’ è dato da: \[V=\int_{0}^{4}\left ( -\frac{1}{4}x^{2}+2x \right )^{2}dx=32\]

Esempio 5.- Si può chiedere prima di tutto di studiare una funzione e rappresentarla nel piano e poi calcolare un’area finita di piano o un volume. E’ il caso di questo video, inserito nel mio canale Youtube.

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