Esempio 1.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx\]
Risoluzione
L’integrale si può calcolare nel seguente modo \[\int\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\int x\left ( 1+x^{2} \right )^{-\frac{1}{2}}dx=\int \frac{2}{2}x\left ( 1+x^{2} \right )^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\int 2x\left ( 1+x^{2} \right )^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\frac{\left ( 1+x^{2} \right )^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} +c=\left ( 1+x^{2} \right )^{\frac{1}{2}}+c=\sqrt{1+x^{2}}+c\]
Esempio 2.1.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}\]
Risoluzione
Applichiamo la sostituzione \[\sqrt{1+x^{2}}=t-x\] da cui si ricava \[1+x^{2}=\left ( t-x \right )^{2}\rightarrow 1+x^{2}=t^{2}-2xt+x^{2}\rightarrow 2xt=t^{2}-1\rightarrow x=\frac{t^{2}-1}{2t}\] e differenziando primo e secondo membro si ha \[dx=\frac{t^{2}+1}{2t^{2}}dt\] e tenuto conto che \[\sqrt{1+x^{2}}=t-x=t-\frac{t^{2}-1}{2t}=\frac{t^{2}+1}{2t}\]
e sostituendo nell’integrale assegnato si ha \[\int \frac{\frac{t^{2}+1}{2t^{2}}}{\frac{t^{2}+1}{2t}}dt=\int \frac{1}{t}dt=ln\left | t \right |+c=ln\left | x+\sqrt{1+x^{2}} \right |+c\]
Esempio 2.2.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int \sqrt{1+x^{2}}\, dx\]
Porre $\displaystyle \sqrt{1+x^{2}}=t-x$ e si ha: \[\int \sqrt{1+x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^{2}}+\frac{1}{2}ln\left | x+\sqrt{1+x^{2}} \right |+c\]
Esempio 2.3.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int \sqrt{1+4x^{2}}\, dx\]
Porre $\displaystyle \sqrt{1+4x^{2}}=t-2x$ e si ha: \[\int \sqrt{1+4x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1+4x^{2}}+\frac{1}{4}\cdot ln\left | 2x+\sqrt{1+4x^{2}} \right |+c\]
In generale si ha: \[\int \sqrt{1+k^{2}x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1+k^{2}x^{2}}+\frac{1}{2k}\cdot ln\left | kx+\sqrt{1+k^{2}x^{2}} \right |+c\]
Porre \[\sqrt{1+k^{2}x^{2}}=t-kx\]
Esempio 3.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\sqrt{2+x^{2}}dx\]
Esempio 4.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x}} dx\]
Esempio 5.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+x+1}} dx\]
Ci sei riuscito, ne sono sicuro! E se sbaglio ancora … consulta il seguente video.
Esempio 6.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\sqrt{4x-x^{2}} dx\]
Esempio 7.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\sqrt{-x^{2}-x+2} dx\]
Risoluzione
L’equazione \[-x^{2}-x+2=0\] ammette le soluzioni x = -2 e x = 1 e dunque il polinomio a primo membro si scompone nel seguente modo \[-x^{2}-x+2=-(x+2)(x-1)=(x+2)(1-x)\]
Pertanto poniamo \[\sqrt{\frac{x+2}{1-x}}=t\] da cui \[x+2=t^{2}(1-x)\rightarrow x=\frac{t^{2}-2}{1+t^{2}}\]
\[dx=\frac{6t}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}dt\] e \[\sqrt{-x^{2}-x+2}=\frac{3t}{1+t^{2}}\] Di conseguenza l’integrale assegnato diventa \[\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-x+2}}=\int \frac{\frac{6t}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}}{\frac{3t}{1+t^{2}}}dt=\int \frac{2dt}{1+t^{2}}=2arctant+c=2arctan\sqrt{\frac{x+2}{1-x}}+c\]
Esempio 8.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\left ( x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right ) dx\]
Esempio 9.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} dx\]
Esempio 10.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{\sqrt{x+1}}{x} dx\]
Esempio 11.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int\frac{1}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}dx\]
Esempio 12.- Calcolare il seguente integrale di una funzione irrazionale: \[\int \frac{x+2}{-x^{2}+5x-6}dx\]
Esempio 13.- Calcolare i seguenti integrali \[\int \sqrt{25-x^{2}}dx\]
\[\int \sqrt{3-x^{2}}\, dx\]
\[\int \sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}\, dx\]
\[\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx\]
Non sai calcolare l’integrale? Allora prova a vedere il mio video su Youtube
Ricorda pure i seguenti integrali di funzioni irrazionali riportati nella foto seguente e tratta dal mio libro Nozioni basilari di analisi matematica
