Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali

AVVERTENZA.- Con il simbolo

\int \frac{f(x)}{g(x)}dx

indichiamo un integrale di una funzione fratta, ove f(x) e g(x) sono polinomi di grado n ed m rispettivamente. La teoria alla base di questo metodo si può consultare in qualsiasi testo di Analisi Matematica (video in preparazione).

Per imparare rapidamente questo metodo conviene prima di tutto capire come calcolare i seguenti sei integrali 

\int \frac{1}{ax^{2}+bx+c}dx,\, \, \int \frac{mx+q}{ax^{2}+bx+c}dx

dipendenti dal delta del trinomio di secondo grado ax^2+bx+c, ovvero delta > 0 delta = 0, delta < 0 (primi 7 esercizi proposti). Chi non ha tempo a disposizione può imparare soltanto questi sei casi. Successivamente aggiungendo ulteriori semplici considerazioni si possono imparare a gestire tutti i casi.

1.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{2}-5x+6}dx

Per calcolare l'integrale osserviamo che il polinomio al denominatore ha delta positivo e dunque si può scomporre nel seguente modo 

x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)

Pertanto la funzione integranda si può esprimere in fratti semplici determinando due costanti reali A e B relative alle due soluzioni x = 2 e x = 3 dell'equazione 

x^{2}-5x+6=0

Si ha 

\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{1}{(x-2)\left ( x-3 \right )}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}

e per determinare le costanti A e B osserviamo che

\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(A+B)-3A-2B}{(x-2)(x-3)}

e per il principio di identità dei polinomi, applicato tra la prima frazione e l'ultima, precisamente tra i numeratori di dette frazioni, deve aversi 

\left\{\begin{matrix} A+B & =0\\ -3A-2B &=1 \end{matrix}\right.

da cui si ricava 

A=-1,\, B=1

. Ricordiamo che per il principio d'identità dei polinomi due polinomi dello stesso grado sono uguali se  e solo abbiano uguali i coefficienti dei termini simili, oppure siano entrambi identicamente nulli.
Di conseguenza l'integrale assegnato diventa il seguente 

\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=\int \frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}dx=-\int \frac{1}{x-2}dx+\int \frac{1}{x-3}dx

e cioè

\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=-ln\left [ x-2 \right ]+ln\left | x-3 \right |+c

Osserviamo che un integrale di questo tipo con delta positivo sarà sempre una somma algebrica di due logaritmi naturali.

Un altro esempio? Eccolo: 

\int \frac{dx}{x^{2}-7x+6}

Ci sei riuscito? O hai ancora dubbi? Se hai dubbi prova a vedere il  video relativo all'esempio completamente svolto.

2.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{2}-4}dx

[ Suggerimento: Il polinomio x^2 - 4 si può scomporre in ( x-2)(x+2) e dunque l'equazione x^2 - 4 = 0 ha due soluzioni reali e distinte, caso delta > 0. Pertanto si devono determinare due costanti reale A e B tali da la funzione integranda si possa scrivere in fratti semplici...]

Risultato: 

\int \frac{1}{x^{2}-4}dx=\frac{1}{4}ln\left | x-2 \right |-\frac{1}{4}ln\left | x+2 \right |+c

3.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{2}+6x+9}dx

Caso delta nullo. Infatti il trinomio x^2 + 6x + 9 ha delta = 0 e dunque il trinomio si può scomporre nel seguente modo 

x^{2}+6x+9=(x+3)(x+3)=(x+3)^{2}

ossia l'equazione 

x^{2}+6x+9=0

ammette due soluzioni reali e coincidenti x = -3, soluzione doppia.
Pertanto si ha la seguente decomposizione in fratti semplici:

\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{1}{(x+3)^{2}}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^{2}}

con A e B due costanti reali da determinare.

Per determinare le costanti A e B consideriamo l'identità 

\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^{2}}=\frac{A(x+3)+B}{(x+3)^{2}}=\frac{Ax+B+3}{(x+3)^{2}}

da cui per il principio di identità dei polinomi deduciamo: 

\left\{\begin{matrix} A &=0 \\ B+3& =1 \end{matrix}\right.

ossia A = 0 e B = -2. Pertanto si ha la seguente identità 

\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}

e dunque l'integrale assegnato diventa 

\int \frac{1}{x^{2}+6x+9}dx=\int \frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}dx=\int \left ( x+3 \right )^{-2}dx=\frac{\left ( x+3 \right )^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{x+3}+c

Notiamo che si poteva stabilire l'identità 

\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{1}{(x+3)^{2}}


tenendo conto del fatto che il trinomio x^2+6x+9 è lo sviluppo del quadrato del binomio ossia 

{x^{2}+6x+9}= {\left ( x+3 \right )^{2}}

e dunque calcolare l'integrale senza stabilire le costanti A e B con la decomposizione in fratti semplici.

Hai capito come fare? Ne sono sicuro e per deliziarti ... prova a risolvere i seguenti tre integrali dello steso tipo 

\int \frac{dx}{x^{2}+4x+4},\int \frac{dx}{x^{2}-2x+1},\int \frac{1}{25x^{2}-30x+9}dx

Suggerimento: scomponi in fattori i trinomi come quadrati di binomi e procedi all'integrazione...

4.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{2}+x+3}dx

Caso delta negativo. Questo caso è un po' più complesso. Vuoi vedere un video teorico? Vai...

Essendo un caso più complesso, come ti dicevo, prova a calcolare il seguente integrale:

\int \frac{dx}{2x^{2}+3x+4}

Dovresti riuscirci, altrimenti consulta il seguente video.

Visto che ci provi gusto ti delizio con questi ulteriori integrali

\int \frac{dx}{x^{2}+3x+8},\int \frac{dx}{x^{2}-x+5},\int \frac{1}{x^{2}+4x+7}dx


sempre con il delta < 0. Dai risolvili e poi va a farti una bella birra!

5.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{2x+5}{x^{2}+4x+3}dx

Semplicissimo vero? Una sorta di copia incolla del caso delta positivo. Hai afferrato al volo? Giusto? Come no? No???? Allora vedi il seguente video.

6.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{3x+1}{x^{2}+4x+4}dx

Semplicissimo vero? Una sorta di copia incolla del caso delta = 0. Hai afferrato al volo? Giusto? Come no? No????

7.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}dx

Semplicissimo vero? come il caso delta negativo? Si e No, non tanto, questa volta ti devo dar ragione se ti sei bloccato...devo spiegarti qualche dettaglio in più! Se ti sei bloccato è normale...

In questo caso devi sapere che la funzione integranda la devi riscrivere nel seguente modo

\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}=A\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}+B\frac{1}{x^{2}+x+2}

con A e B due costanti reali da calcolare. Pertanto l'integrale dato diventa: 

\int \frac{5x+1}{x^{2}+x+2}dx=A\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx+B\int \frac{1}{x^{2}+x+2}dx

ove il primo integrale al secondo membro è immediato essendo il numeratore la derivata del denominatore e il secondo è il caso con delta negativo analizzato nei primi tre esempi proposti: 

\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx=ln\left | \frac{2x+1}{x^{2}+x+2} \right |+c_{1},\int \frac{1}{x^{2}+x+2}dx=\frac{2}{\sqrt{7}}arctan\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{7}} \right )+c_{2}

Dunque dobbiamo solo calcolare le costanti A e B. Si possono calcolare con i seguenti passaggi: 

\frac{5x+1}{x^{2}+x+2} =\frac{5(x+\frac{1}{5})}{x^{2}+x+2}=5\frac{x+\frac{1}{5}}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2\left ( x+ \frac{1}{5}\right )}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+\frac{2}{5} }{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+\frac{2}{5}+1-1 }{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1+(\frac{2}{5}-1) }{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1-\frac{3}{5}}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}+\frac{5}{2}\cdot \frac{\frac{-3}{5}}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+x+2}

con A = 5/2 e B = -3/2 il che si capisce confrontando l'uguaglianza

\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}=A\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}+B\frac{1}{x^{2}+x+2}

con 

\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+x+2}

In definitiva l'integrale assegnato vale 

\int \frac{5x+1}{x^{2}+x+2}dx =\int \frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx-\int \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+x+2}dx=\frac{5}{2}\cdot ln\left | \frac{2x+1}{x^{2}+x+2} \right |-\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}arctan\frac{2x+1}{\sqrt{7}}+c=\frac{5}{2}\cdot ln\left | \frac{2x+1}{x^{2}+x+2} \right |-\frac{3}{\sqrt{7}}arctan\frac{2x+1}{\sqrt{7}}+c

Riassumendo, per svolgere i sei integrali suddetti bisogna saper scrivere in fratti semplici la funzione integranda, il che avviene in base al delta del trinomio di secondo grado che figura al denominatore così:

\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}\rightarrow se\, \Delta >0\rightarrow \frac{1}{a}\cdot \frac{A}{x-x_{1}}+\frac{1}{a}\cdot \frac{B}{x-x_{1}}\rightarrow

con 

x_{1}, x_{2}

soluzioni dell'equazione 

ax^{2}+bx+c=0


ossia 

ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x+x_{2} \right ), \, \, \, se\, \, \Delta >0

e dunque si ha che l'integrale dato vale:

\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}= \frac{1}{a}\cdot\int \frac{A}{x-x_{1}}dx+\frac{1}{a}\cdot\int \frac{B}{x-x_{1}}dx+c =...

Se invece il delta è nullo si ha: 

\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}=\int \frac{dx}{a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}=\frac{1}{a}\int \left ( x-x_{1} \right )^{-2}dx=...;se\, \Delta =0

con 

x_{1}=x_{2}

soluzione doppia dell'equazione 

ax^{2}+bx+c=0\, \, e\, \, ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}

Se invece il delta è negativo si ha: 

\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{-\Delta }}\cdot arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+c

Analogamente si procede per gli altri tre casi, si tenga presente quanto mostrato  negli esempi.

AVVERTENZA 1.- Calcoliamo il seguente integrale 

\int\frac{x^{3}+3x^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}dx

Notiamo che a differenza di tutti gli altri esempi in questo caso il numeratore è un polinomio di grado 3 maggiore del grado 2 del denominatore. In questi casi bisogna prima di tutto eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore con l'ordinaria divisione tra polinomi e si ha come quoziente Q(x) e resto R(x): 

Q(x)=x+6,\, \, \, R(x)=17x-12


Di conseguenza la funzione integranda si può scrivere nel seguente modo 

\frac{x^{3}+3x^{2}++x+1}{x-3x+2}=(x+6)+\frac{17x-12}{x^{2}-3x+2}

e l'integrale dato si decompone nei seguenti due

\int \frac{x^{3}+3x^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}dx=\int (x+6)dx+\int \frac{17x-12}{x^{2}-3x+2}dx

e si rientra nei casi già esaminati (nell'esempio è delta positivo). Osserviamo che quanto detto in questo esempio è valido sempre, ovvero ogni qualvolta che il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore bisogna eseguire prima la divisione tra numeratore e denominatore e dunque ricondursi ai casi precedenti. Vedremo qualche altro esempio più giù.

Avvertenza 2.- A questo punto ti devi fermare un attimo e riflettere su quanto abbiamo fatto per risolvere i sei integrali assegnati. Se non hai tempo per studiare ulteriormente e dunque completare il metodo è forse il caso di fermarti qui, perché nei corsi universitari di matematica, escludendo le facoltà di Matematica, Fisica e Ingegneria, gli integrali assegnati di questo tipo sono, con buona probabilità, più o meno come questi analizzati.
Certamente ti conviene sempre verificare studiando le prove di esame.
Se invece vuoi completare il metodo devi svolgere gli esempi seguenti e sicuramente devo aggiungere qualche ulteriore piccola spiegazione. Buon lavoro!

8.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: 

\int \frac{1}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}dx

Il punto fondamentale è capire come sono le soluzioni dell'equazione 

x^{3}+2x^{2}-5x-6=0

Pertanto risolvendo l'equazione suddetta utilizzando la Regola di Ruffini si vede che sue le soluzioni sono 

x=-1,x=2,x=-3

soluzioni reali e distinte, siamo dunque in un caso analogo a quello già visto con delta positivo. Tenuto conto che 

x^{3}+2x^{2}-5x-6=(x+1)(x-2)(x+3)

, procedendo con la decomposizione in fratti semplici della funzione integranda, si capisce che bisogna determinare tre costanti reali A, B, C, una per ogni soluzione reali dell'equazione suddetta. Si ha:

\frac{1}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}=\frac{1}{(x+1)(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3}=...

Determinate le tre costanti A = -1/6, B = 1/15, C= 1/10, risolvendo il sistema 

\left\{\begin{matrix} A+B+C &=0 \\ A+4B-C &=0 \\ -6A+3B-2C & =1 \end{matrix}\right.


si vede che l'integrale è la somma algebrica di tre logaritmi natuali: 

\int \frac{1}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}dx=-\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{15}\int \frac{dx}{x-2}+\frac{1}{10}\int \frac{dx}{x+3}=-\frac{1}{6}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{15}ln\left | x-2 \right |+\frac{1}{10}ln\left | x+3 \right |+c

Calcola i seguenti integrali dello stesso tipo del numero 8, cioè avente al denominatore un polinomio con tutte radici (soluzioni) reali semplici (tutte distinte tra loro): 

\int \frac{1}{(x-3)(x-1)(x+5)}dx,\, \, \int \frac{1}{x^{3}-7x+6}dx,\, \, \int \frac{1}{x^{4}+x^{3}-11x^{2}-9x+18}dx,

\int \frac{x^{2} +x}{x^{3}-4x^{2}-19x-14}dx,\, \, \int \frac{x^{4}}{-x^{3}+6x^{2}-11x+6}dx,\, \, \int \frac{x^{3}}{6x^{3}-7x^{2}-x+2}dx,

9.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: 

\int \frac{dx}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}

Il punto fondamentale è capire come sono le soluzioni dell'equazione: 

x^{3}+4x^{2}-3x-18=0


Pertanto risolvendo tale equazione si vede che le soluzioni sono reali, ma una semplice e un'altra multipla di molteplicità 2:

x = 2 reale e semplice

x = - 3 reale e multipla di molteplicità 2

Tenuto conto che 

x^{3}+4x^{2}-3x-18=(x-2)(x+3)^{2}

, procedendo con la decomposizione in fratti semplici della funzione integranda, si capisce che bisogna determinare tre costanti reali A, B, C tali che 

\frac{1}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}=\frac{1}{(x-2)(x+3)^{2}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3)^{2}}

e dunque l'integale assegnato diventa: 

\int \frac{1}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}dx=\int \frac{A}{x-2}dx+\int \frac{B}{x+3}dx+\int \frac{C}{(x+3)^{2}}dx

Calcolate dunque le costanti A, B e C risolvendo il sistema 

\left\{\begin{matrix} A+B &=0 \\ 6A+B+C &=0 \\ 9A-6B-2C &=1 \end{matrix}\right.

si ha A = 1/25, B = -1/25, C = -1/5 e quindi 

\int \frac{dx}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}=\frac{1}{25}\int \frac{dx}{x-2}-\frac{1}{25}\int \frac{dx}{x+3}-\frac{1}{5}\int \frac{dx}{(x+3)^{2}}=\frac{1}{25}ln\left | x-2 \right |-\frac{1}{25}ln\left | x+3 \right |+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{x+3}+c

Calcolare i seguenti integrali dello stesso tipo del numero 9: 

\int \frac{dx}{\left ( x+3 \right )\left ( x+6 \right )\left ( x+1 \right )^{2}},\, \, \int \frac{-2x^{2}+3}{x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12+4}dx,\int \frac{x^{5}}{(x+2)(x-1)(x-2)^{2}}dx

10.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{x^{2}}{(x^{2}-1)(x+2)}dx

,

Sugg. Tutte le radici del polinomio che figura al denominatore sono reali e distinte, quindi è un integrale del tipo 8. Continua...dai che riuscirai sicuramente a farlo...

11.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: 

\int\frac{x}{x^{3}+1}dx

Siamo in un nuovo caso, il terzo! Tenuto conto che 

x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)

si capisce che l'equazione 

x^{3}+1=0\rightarrow (x+1)(x^{2}-x+1)=0

ammette una soluzione reale e due soluzioni complesse coniugate 

x_{1}=-1,\, \, x_{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},\, x_{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}

ovvero le radici sono reali o complesse ma semplici (non multiple, e questo sarà il quarto caso, lo vedremo dopo)
Quindi bisogna ricercare tre costanti reali A, B, C in modo che la funzione integranda si decomponga in fratti semplici nel seguente modo 

\frac{1}{x^{3}+1}=\frac{1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}

Notiamo che in questo terzo caso al trinomio di secondo grado a delta negativo, ovvero con le radici complesse coniguate, si associano due costanti nella forma di un binomio di primo grado Bx + C.
Calcoliamo le costanti risolvendo il sistema 

\left\{\begin{matrix} A+B & =0\\ B+C-A & =0\\ A+C & =1 \end{matrix}\right.

e si ha A= 1/3, B = -1/3, C = 2\3. Di conseguenza la funzione integranda si scrive nel seguente modo: 

\frac{1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}

e l'integrale asseganto si calcola così: 

\int \frac{dx}{x^{3}+1}=\int \frac{1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}dx=\int \frac{\frac{1}{3}}{x+1}dx+\int \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}dx

...

Calcolare il seguente integrale dello stesso tipo:

\int\frac{x^{4}+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}dx

Prima di tutto bisogna eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore, visto che il numeratore è di grado maggiore del denominatore, e si ha come quoziente Q(x) e resto R(x): 

Q(x)=x+1,\, R(x) =2


Pertanto l'integrale dato diventa: 

\int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}dx=\int (x+1)dx+\int \frac{2}{x^{3}-x^{2}+x-1}dx


e il secondo è del tipo precedente, integrale 11. Continua da solo... puoi farcela

 

12.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: 

\int \frac{1}{(x+1)(x-2)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx

Si tratta del quarto caso, ovvero il denominatore contiene un fattore di secondo grado a radici complesse multiple. Se non lo devi necessiamente studiare puoi anche saltarlo. In questo caso bisogna trovare 7 costanti reali in modo che la funzione integranda si scriva in fratti semplici: 

\frac{1}{(x+1)(x-2)^{2}(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}+\frac{Dx+E}{x^{2}+1}+\frac{Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}

e calcolate le 7 costanti reali sembrerebbe tutto facile come prima. Purtroppo non è così, precisamente il quarto integrale, cioè quello relativo alla frazione 

\frac{Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}

si calcola per parti o per sostituzione, ma sicuramente dovrei aggiungere qualche nuova osservazione e che potrai leggere nella seguente pagina. Se non necessario, ripeto, puoi tralsciare questo quarto caso.

Calcolare anche il seguente integrale:

\int\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}(x^{2}+x+1)}dx


E' più semplice del precedente perchè al denominatore non ci sono fattori di secondo grado a radici complesse multiple, vi è solo un trinomio di secondo grado a radici complesse, e un fattore di secondo grado a radici reali doppie. Quindi si ha la seguente decomposizione in fratti semplici: 

\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}\left ( x^{2}+x+1 \right )}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}

con A, B, C, D costanti reali da calcolare.

Nei prossimi esempi non ho inserito esercizi ricadenti nel quarto caso, ad eccezione del numero 18, se ne vuoi vedere qualcuno potrai farlo qui

13.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{4}+1}dx


Bisogna scomporre il denominatore. Si ha: 

x^{4}+1=\left ( x^{2}+x\sqrt{2}+1 \right )\left ( x^{2}-x\sqrt{2}+1 \right )

quindi... continua da solo...

14.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{4}-1}dx

Scomponi... è semplice...

15.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{4}-7x^{2}+12}dx

Si ha: 

x^{4}-7x^{2}+12=\left ( x^{2}-4 \right )\left ( x^{2}-3 \right )=...

16.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{x^{3}+2xx-3}dx

Si ha: 

x^{3}+2x-3=\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+3 \right )

17.- Calcolare i seguenti integrali di una funzione razionale:

\int\frac{1}{(x^{2}+1)\left ( x^{2}-4 \right )}dx

 

\int \frac{x^{5}+2x+1}{\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}-2x+1 \right )}dx

18- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:

\int\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx


Per calcolare tale integrale vedere qui

Per vedere alcuni esercizi svolti puoi consultare il mio canale Youtube

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