Primo compito ottobre 2021
Risoluzione
Primo Quesito.- a) Data la funzione $\displaystyle y=\frac{2-a}{1+lnx}$ trovare a tale che f(1) = 1.Per trovare il valore del parametro a sapendo che f(1) = 1 bisogna sostituire 1 ad x ed 1 alla funzione, cioè 1 al posto di f(1), e si ha:
\[f(1)=\frac{2-a}{1+ln1}\, \, \, \, \rightarrow\, \, 1=\frac{2-a}{1+ln1}…\]
b) Per determinare il dominio della funzione bisogna risolvere il sistema:
\[\left\{\begin{matrix} x &>0 \\ 1+lnx& \neq 0 \end{matrix}\right.\]
Risolto il sistema si vede che il dominio è dato da $\displaystyle x>0,x\neq \frac{1}{e}$ ossia $\displaystyle D=\left ( 0,+\infty \right )-\left \{ \frac{1}{e} \right \}$
c) Per determinare il segno della funzione $\displaystyle y=\frac{1}{1+lnx}$, ottenuta per a = 1, risolviamo la disequazione $\displaystyle y\geq 0\rightarrow\frac{1}{1+lnx}\geq 0$…
d) Non ci sono interesezioni con gli assi coordinati.
e) La funzione non è né pari né dispari, il che si può dedurre già dalla conoscenza del dominio.
Compiti Anno 2019-2020
Calcoliamo il primo limite del terzo quesito, cioè $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{log\left ( x^{2}+3x \right )}{log\sqrt{x}}$ applicando come richiesto la regola di De L’Hôpital.
Il limite si prensena in forma indeterminata $\displaystyle \large \frac{\infty }{\infty }$, quindi applicando al Regola di De L’Hôpital, ossia derivando numeratore e denominatore della funzione si ha il seguetne rapporto delle derivate:
$\displaystyle \large \frac{\frac{2x+3}{x^{2}+3x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}=\frac{\frac{2x+3}{x^{2}+3x}}{\frac{1}{2x}}=\frac{4x^{2}+6x}{x^{2}+3x}$
da cui calcolando il nuovo limite $\displaystyle \large \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^{2}+6x}{x^{2}+3x}$ si vede che si presenta ancora in forma indeterminata 0/0. Pertanto con una ulteriore applicazione della regola di De L’Hôpital si ha:
$\displaystyle \large \lim_{x\rightarrow 0}\frac{8x+6}{2x+3}=\frac{6}{3}=2$
Pertanto il limite assegnato vale 2.
Calcoliamo l’integrale improprio del terzo quesito, $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{x}{1+x^{4}}dx$. Si ha:
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{x}{1+x^{4}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t }\frac{x}{1+\left ( x^{2} \right )^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{2}\int_{1}^{t}2\frac{x}{1+\left ( x^{2} \right )^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{2}\left [ arctan\, x^{2} \right ]_{1}^{t}=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{2}\left ( arctan\, t^{2}-arctan1 \right )=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{2}arctan\, t^{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$
Risolviamo il terzo quesito, cioè calcoliamo il primo integrale improprio: $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{x^{2}}{1+x^{6}}dx$. Si ha:
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{x^{2}}{1+x^{6}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t }\frac{x^{2}}{1+\left ( x^{3} \right )^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{3}\int_{1}^{t}3\frac{x^{2}}{1+\left ( x^{3} \right )^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{3}\left [ arctan\, x^{3} \right ]_{1}^{t}=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{3}\left ( arctan\, t^{3}-arctan1 \right )=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{1}{3}arctan\, t^{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$