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Dal grafico di una funzione ad alcune sue proprietà

Impariamo a leggere il grafico di una funzione, ossia a dedurre alcune caratteristiche (proprietà) della funzione quando viene assegnato il suo grafico.

Esempio 1.1.- Il grafico della funzione y = f(x) è rappresentato nella seguente figura. La funzione f(x) ha dominio R è il suo grafico è costituito da tre parti, la prima è un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, la seconda  è un segmento, e la terza da un arco di una funzione omografica.

Determinare:

a) Deduci dal grafico i seguenti limiti:

\[\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x), \, \, \lim_{x\rightarrow 1^{-} }f(x),\, \, \lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x),\, \, \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)\]

b) Scrivi l’espressione analitica di f(x);
c) Deduci le immagini di x = -2, x = 2, x = -1 e le controimmagini di y = 1 e y = 5;
d) Determina l’insieme immagine, Img (f), della funzione;
e) Verifica con la definizione il limite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$;
f) Stabilire i valori di x per i quali la funzione si annulla, è positiva ed è negativa.

Risoluzione

Risolviamo il punto b). Il ramo  parabolico della curva si può determinare tenendo conto che la parabola ha il vertice nel punto V(-2,1) e passa per il punto (-3,0), il che si deduce per la simmetria della parabola rispetto all’asse x = – 2 e dal fatto che …
Quindi l’equazione dell’arco di parabola sarà del tipo $\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$  e dovendo avere il vertice di ascissa -2 e ordinata 1 si ricavano le relazioni \[-\frac{b}{2a}=-2,\, \, 1=4a-2b+c\]

Inoltre, dal passaggio dell’arco di parabola per il punto (-3,0) si ottiene l’ulteriore relazione \[0=9a-3b+c\]

e mettendo a sistema le relazioni trovate si ha:

\[\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-2 & \\ 1=4a-2b+c& \\ 0=9a-3b+c& \end{matrix}\right.\]

Risolto tale sistema si ottiene  a = -1, b = -4 e c = -3, da cui l’arco di parabola ha equazione:

\[y=-x^{2}-4x-3,\, \, \, \, \, con\, \, \, x<-1\]

Per quanto riguarda il segmento aventi per estremi i punti (-1, -3) e (2, 1) basta applicare la formula dell’equazione di una retta passante per due punti… e si ha: \[y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}\]

Infine, per la funzione omografica, la cui equazione è del tipo $\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}$, procediamo nel seguente modo:

  • dato che ha asintoto verticale x = 2 deve aversi per x = 2:  $\displaystyle 2c+d=0$
  • dato che ha asintoto orizzontale y = 2 deve aversi:  $\displaystyle \frac{a}{c}=2$
  • e dato che passa per il punto (3,5) deve aversi: \[5=\frac{3a+b}{3c+d}\]

Pertanto risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} 2c+d &=0 \\ \frac{a}{c} &=2 \\ 5 & =\frac{3a+b}{3c+d} \end{matrix}\right.\]
con la scelta c = 1 si ottiene: \[a=2,\, \, b=-1,\, \, c=1,\, \, d=-2\]

Infine l’espressione analitica della funzione è:

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^{2}-4x-3&\, \, se\, \, x<-1 \\ \frac{4}{3}x-\frac{5}{3} &\: \: se\, \, -1\leq x\leq 2 \\ \frac{2x-1}{x-2}&\: \: se\, \, x>2 \end{matrix}\right.\]

Esempio 1.2.- Il grafico della funzione y = f(x) è quello rappresentato nella figura 1.

grafico_funzione_1

Determinare:
a) il dominio D e il codominio di f(x);
b) l’insieme soluzione dell’equazione f(x) = 0;
c) l’insieme soluzione della disequazione f(x) > 0, e della disequazione f(x) < 0;
d) gli intervalli in cui f(x) è strettamente crescente e strettamente decrescente;
e) f(-1), f(4), f(10), f -1 (1), f -1 (2);
f) la controimmagine di y = 1,5 è compreso tra x = 5 e x = 10?
g) E’ vero che il valore massimo della funzione è 2? Qual è il valore minimo della funzione?
h) E’ vero che la retta x = – 4 è un asintoto verticale?
i) Esiste un sottoinsieme del dominio in cui la funzione è costante?
l) la funzione è iniettiva? E’ suriettiva? E’ biettiva?
m) nel punto x = 5 la funzione è continua?

Risoluzione (vedi foto)

a) Il dominio della funzione è l’intervallo ] – 4, 10 ], mentre il codominio è l’intervallo $\displaystyle \left ( -2,+\infty \right )$  .

b) L’equazione f (x ) = 0 ammette tre soluzioni: x = a,   x = b,   x = c  ove a, b, c sono le ascisse dei punti d’intersezione del grafico della curva con l’asse x.

c) f(x) > 0 per – 4 < x < a,  b < x < 5,   c < x < 10;  f(x) < 0 per a < x < b,  5 < x < c, con a, b, c numeri indicai nel punto precedente b);

d) La funzione è strettamente crescente in ] -1, 3 [  e  ] 5, 10 [ ; strettamente decrescente in ] – 4,  -1 [.

e) f(-1) è l’immagine della funzione per x = -1, tale valore si legge sul grafico in corrispondenza di x = -1 e si ha:

f(-1) = -1;

f(4) non esiste,   f(10) = 2,

$\displaystyle f^{-1}\left ( 1 \right )=3,\, \, f^{-1}\left ( 2 \right )=10$

f)

g) NO, la funzione è illimitata superiormente, ovvero il suo estremo superiore è + infinito; la funzione non ammette valore minimo, il suo estremo inferiore è -2.

h) Si

l) Si, la funzione è costante nell’intervallo [ 3, 5 ]

l) NO, la funzione non è iniettiva; Sì, la funzione è suriettiva; No, la funzione non è biettiva perché non è iniettiva.

m) No, infatti il limite sinistro vale 1 e quello destro -2

Esempio 1.3.- Data la funzione: \[f(x)=\left\{\begin{matrix} x-1 &\, se\, x>0\\ x^{2} &\, se\: -1\leq x\leq 0 \\ 2 & se\, \, x<-1 \end{matrix}\right.\]

  1. rappresentarla graficamente;
  2. determinare il dominio e il codominio;
  3. stabilire se è iniettiva e suriettiva;
  4. stabilire gli intervalli in cui la funzione è strettamente crescente;
  5. risolvere l’equazione f(x) = 0 e l’equazione f(x) = 4;
  6. esiste un sottoinsieme del dominio in cui la f(x) è costante?;
  7. determinare y(2), y(-1/2), y(-12);
  8. stabilire $\displaystyle f^{-1}\left ( 1 \right ),\: f^{-1}\left ( 2 \right ),\, f^{-1}\left ( 4 \right ),$;
  9. la funzione è continua nel punto $\displaystyle x_{0}=4$ ? e in $\displaystyle x_{0}=0$ ?
  10. in $\displaystyle x_{0}=-1$ la funzione è continua o discontinua?