Esempio 1.1.- Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0,80 ml di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18 °C. Stabilire il volume dell’aria nella siringa al momento dell’equilibrio termico. Tratto da Amaldi
Risoluzione.
Come prima cosa trasformiamo i valori delle temperatura iniziale e finale in gradi Kelvin.
Si ha:
$\displaystyle T=(273,15\, ^{\circ}C\, +20\, ^{\circ}C)\frac{K}{^{\circ}C}=293,15\, K;\, \, T=(273,15\, ^{\circ}C\, -18\, ^{\circ}C)\frac{K}{^{\circ}C}=255,15K$
Quindi applichiamo la prima legge di Gay Lussac $\displaystyle V_{f}=\frac{V_{i}}{T_{i}}T_{f}$ ( a pressione costante) e si ha:
$\displaystyle V_{f}=\frac{0,8\, ml}{293,15\, K}\left ( 255,15\, K \right )=0,8\, ml\cdot 0,87037=0,69\, ml \approx 0,7\, ml$
Esempio 2.1.- Primo principio della termodinamica, trasformazione termodinamiche, trasformazioni adiabatiche e cicliche.- Due moli di un gas ideale biatomico in un contenitore sono alla pressione di 1.8 atm ed occupano un volume di 18 m^3. Qual è il lavoro fatto dal gas ed il calore scambiato se si espande a pressione costante ad un volume pari a 4/3 di quello iniziale?
Esempio 2.2.- Un gas in un contenitore è alla pressione di 2,2 atm ed occupa un volume di 0,5 m^3. Qual è il lavoro fatto dal gas se a) si espande a pressione costante ad un volume doppio di quello iniziale e b) è compresso a pressione costante ad un quarto del suo volume iniziale?
Esempio 2.3.- Un serbatoio metallico cubico ha pareti sottili, con spigolo di lunghezza 10 cm, esso
contiene un gas monoatomico, assimilabile ad un gas perfetto, alla pressione di 1,5 atm ed alla temperatura di 10° C. Posto all’aperto, per prolungata esposizione al sole, l’intero sistema si porta alla temperatura di 65°C. Il volume del serbatoio durante il riscaldamento non viene modificato in modo sensibile. Determinare:
• la pressione finale del gas (in Pa);
• la variazione della energia interna del gas;
• la quantità di calore assorbita dal gas.
Risoluzione ragionata
Conviene prima trasformare i dati in unità S.I., cioè 10 cm in metri, 1,5 atm in Pascal e 10 e 65 gradi celsius in gradi Kelvin.
Essendo il volume del serbatoio costante, con la formula \[P_{2}=\frac{T_{2}\cdot P_{1}}{T_{1}}\] possiamo ricavare la pressione finale $P_{2}$.
Per calcolare l’energia interna utilizziamo la formula \[ \Delta\, U= \frac{3}{3}n\cdot R\cdot\Delta T=\frac{3}{3}\frac{P_{1}\cdot V}{T_{1}}\Delta T\]
Risultati: $P_{2}=1,8\cdot 10^{5}Pa$, $ \Delta\, U=44J$ Q = 44J
Esempio 2.4.- Tre moli di gas ideale monoatomico sono soggette ad una trasformazione isoterma AB con TA = 350 K, VA = 2,5 L e VB = 4,1 L e poi ad una trasformazione isobara che riporta il volume a VA. Calcolare il lavoro svolto dal gas ed il calore scambiato durante ciascuna trasformazione.
Esempio 2.5.-Tre moli di gas ideale monoatomico sono soggette ad una trasformazione isoterma AB con TA = 350 K, VA = 1,6 L e VB = 2,5 L e poi ad una trasformazione isobara che riporta il volume a VA. Calcolare il lavoro svolto dal gas ed il calore scambiato durante ciascuna trasformazione.
Esempio 2.6.-Tre moli di ossigeno vengono compresse isotermicamente a T=15°C da un volume iniziale di 15 L ad un volume finale di 6 L. Calcolare (a) la pressione finale del gas, (b) la variazione di energia interna e (c) la variazione di entropia. (Si consideri l’ossigeno come un gas perfetto).
Esempio 2.7.- Il lavoro compiuto su 0,700 mol di gas monoatomico affinché il suo volume iniziale venga compresso del 30,0% è di 380 J. La temperatura iniziale è di 305 K e la pressione aumenta del 50% rispetto al valore iniziale di 1,20 atm. Calcolare il calore ceduto all’ambiente durante la trasformazione. [ Tratto da Amaldi ]
Risoluzione
Per risolvere l’esercizio partiamo dal fatto che bisogna calcolare Q e dunque ci occorre una formula che permette di calcolarlo. La formula in questione è espressa dal Primo Principio della Termodinamica. Dunque si parte dalla formula
\[\Delta U=Q-L\Rightarrow Q=\Delta U+L\]
in tale formula conosciamo il lavoro fatto (vedi dati) ma non l’energia interna $\displaystyle \Delta U$. Dunque bisogna calcolarla, il che si può fare con la formula
\[\Delta U=\frac{l}{2}nR\Delta T\rightarrow \Delta U=\frac{l}{2}nR\left ( T_{f}-T_{i} \right )\]
ma non conosciamo la temperatura finale e quindi bisogna prima di tutto calcolarla, il che si può fare applicando l’equazione dei gas perfetti: \[PV=nRT\rightarrow T_{f}=\frac{P_{f}V_{f}}{nR}\]
ma per applicare tale formula dobbiamo conoscere la pressione finale e il volume finale, cioè dopo la riduzione del 30,0% di quello iniziale. Ma non conosciamo il volume iniziale, dunque lo dobbiamo calcolare con l’equazione di stato dei gas perfetti: \[PV=nRT\rightarrow V_{i}=\frac{nRT_{i}}{p_{i}}\]
Il ragionamento si può condensare nei seguenti passaggi:
\[Q=\Delta U+L\]
\[\Delta U=\frac{l}{2}nR\left ( T_{f}-T_{i} \right )\]
\[T_{f}=\frac{P_{f}V_{f}}{nR}\]
\[V_{f}=V_{i}-\frac{30}{100}V_{i}\]
\[V_{i}=\frac{nRT_{i}}{p_{i}}\]
Per la risoluzione numerica basta sostituire i dati nell’ultima formula e calcolare il volume iniziale $\displaystyle V_{i}$, poi il volume finale $\displaystyle V_{f}$, utilizzando la penultima formula del ragionamento… e così continuando fino alla prima formula del ragionamento, che fornirà il valore richiesto di Q, ove il lavoro è però da intendersi negativo. Eventualmente eseguire l’equivalenze … e sostituire l = 3 (tre gradi di libertà).
Il risultato è circa – 59 cal.
Esempio 3.1.- Secondo principio della termodinamica, rendimento, macchina reversibile e ciclo di Carnot, rendimento della macchina di Carnot
Esempio 4.1.- Entropia e disordine, disuguaglianza di Clausius, terzo principio della termodinamica, equazioen di Boltzmann per l’entropia