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Esercizi svolti di termodinamica per la scuola superiore e per l’università

Esercizi svolti di termodinamica

Esempio 1.1.- Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0,80 ml di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18 °C. Stabilire il volume dell’aria nella siringa al momento dell’equilibrio termico. Tratto da Amaldi

Risoluzione. Come prima cosa trasformiamo i valori delle temperatura iniziale e finale in gradi Kelvin.
Si ha:

$\displaystyle T=(273,15\, ^{\circ}C\, +20\, ^{\circ}C)\frac{K}{^{\circ}C}=293,15\, K;\, \, T=(273,15\, ^{\circ}C\, -18\, ^{\circ}C)\frac{K}{^{\circ}C}=255,15K$

Quindi applichiamo la prima legge di Gay Lussac $\displaystyle V_{f}=\frac{V_{i}}{T_{i}}T_{f}$ ( a pressione costante) e si ha:

$\displaystyle V_{f}=\frac{0,8\, ml}{293,15\, K}\left ( 255,15\, K \right )=0,8\, ml\cdot 0,87037=0,69\, ml \approx 0,7\, ml$

Esempio 2.1.- Primo principio della termodinamica, trasformazione termodinamiche, trasformazioni adiabatiche e cicliche.- Due moli di un gas ideale biatomico in un contenitore sono alla pressione di 1.8 atm ed occupano un volume di 18 m^3. Qual è il lavoro fatto dal gas ed il calore scambiato se si espande a pressione costante ad un volume pari a 4/3 di quello iniziale?

Esempio 2.2.- Un gas in un contenitore è alla pressione di 2,2 atm ed occupa un volume di 0,5 m3. Qual è il lavoro fatto dal gas se a) si espande a pressione costante ad un volume doppio di quello iniziale e b) è compresso a pressione costante ad un quarto del suo volume iniziale?

Esempio 2.3.- Tre moli di gas ideale monoatomico sono soggette ad una trasformazione isoterma AB con TA = 350 K, VA = 2,5 L e VB = 4,1 L e poi ad una trasformazione isobara che riporta il volume a VA. Calcolare il lavoro svolto dal gas ed il calore scambiato durante ciascuna trasformazione.

Esempio 2.4.-Tre moli di gas ideale monoatomico sono soggette ad una trasformazione isoterma AB con TA = 350 K, VA = 1,6 L e VB = 2,5 L e poi ad una trasformazione isobara che riporta il volume a VA. Calcolare il lavoro svolto dal gas ed il calore scambiato durante ciascuna trasformazione.

Esempio 2.5.-Tre moli di ossigeno vengono compresse isotermicamente a T=15°C da un volume iniziale di 15 L ad un volume finale di 6 L. Calcolare (a) la pressione finale del gas, (b) la variazione di energia interna e (c) la variazione di entropia. (Si consideri l’ossigeno come un gas perfetto).

Esempio 2.6.- Il lavoro compiuto su 0,700 mol di gas monoatomico affinché il suo volume iniziale venga compresso del 30,0% è di 380 J. La temperatura iniziale  è di 305 K e la pressione aumenta del 50% rispetto al valore iniziale di 1,20 atm. Calcolare il calore ceduto all’ambiente durante la trasformazione. [ Tratto da Amaldi ]

Risoluzione

Per risolvere l’esercizio partiamo dal fatto che bisogna calcolare Q e dunque ci occorre una formula che permette di calcolarlo. La formula in questione è espressa dal Primo Principio della Termodinamica. Dunque si parte dalla formula

\[\Delta U=Q-L\Rightarrow Q=\Delta U+L\]

in tale formula conosciamo il lavoro fatto (vedi dati) ma non l’energia interna $\displaystyle \Delta U$. Dunque bisogna calcolarla, il che si può fare con la formula

\[\Delta U=\frac{l}{2}nR\Delta T\rightarrow \Delta U=\frac{l}{2}nR\left ( T_{f}-T_{i} \right )\]

ma non conosciamo la temperatura finale e quindi bisogna prima di tutto calcolarla, il che si può fare applicando l’equazione dei gas perfetti: \[PV=nRT\rightarrow T_{f}=\frac{P_{f}V_{f}}{nR}\]

ma per applicare tale formula dobbiamo conoscere la pressione finale e il volume finale, cioè dopo la riduzione del 30,0% di quello iniziale. Ma non conosciamo il volume iniziale, dunque lo dobbiamo calcolare con l’equazione di stato dei gas perfetti: \[PV=nRT\rightarrow V_{i}=\frac{nRT_{i}}{p_{i}}\]

Il ragionamento si può condensare nei seguenti passaggi:

\[Q=\Delta U+L\]
\[\Delta U=\frac{l}{2}nR\left ( T_{f}-T_{i} \right )\]
\[T_{f}=\frac{P_{f}V_{f}}{nR}\]
\[V_{f}=V_{i}-\frac{30}{100}V_{i}\]
\[V_{i}=\frac{nRT_{i}}{p_{i}}\]

Per la risoluzione numerica basta sostituire i dati nell’ultima formula e calcolare il volume iniziale $\displaystyle V_{i}$, poi il volume finale $\displaystyle V_{f}$, utilizzando la penultima formula del ragionamento… e così continuando fino alla prima formula del ragionamento, che fornirà il valore richiesto di Q, ove il lavoro è però da intendersi negativo. Eventualmente eseguire l’equivalenze … e sostituire  l = 3 (tre gradi di libertà).
Il risultato è circa – 59 cal.

Esempio 3.1.- Secondo principio della termodinamica, rendimento, macchina reversibile e ciclo di Carnot, rendimento della macchina di Carnot

Esempio 4.1.- Entropia e disordine, disuguaglianza di Clausius, terzo principio della termodinamica, equazioen di Boltzmann per l’entropia