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Esercizi svolti di elettrologia ed elettromagnetismo per la scuola superiore e l’università

Esercizi svolti di elettrologia

Esempio 1.1.- Legge di Couloumb.- Due cariche nel vuoto q = 12,5 micro C e Q = -10 micro C e sono poste a 125 cm di distanza. Calcolare la forza di Coulomb tra le cariche.

Esempio 1.2.- Tre cariche puntiformi sono poste nel vuoto in A, B e C. Sapendo che il segmento AC ha come punto medio il punto B e che le tre cariche valgono Q_A = 62,5 nC, Q_B= 20,2 nC e Q_C = 45,6 nC determinare la forza elettrica totale che agisce sulla carica posta in B.

Esempio 1.3.- Tre cariche puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo rettangolo ABC retto in  in B. Sapendo che i cateti AB e bC valgono rispettivamente 35 cm e 55 cm e che le cariche Q_B = 5,0 10^-5 C, Q_A = 4,0 10^-5 C, Q_C = 3,0 10^-56 C, determinare il vettore risultante delle forze agenti su Q_B.

Esempio 2.1.- Campo elettrico di una carica puntiforme e linee del campo elettrico.- Una carica puntiforme q = 5,0 10^-4 C è posta in punto dello spazio in cui è presente un campo elettrico di intensità E = 6,5 10^3 N/C  determinare la forza agente sulla carica q.

Esempio 2.2.- Una carica Q genera un campo elettrico E, determinare il valore del campo E a 125 cm da Q.

Esempio 2.3.- Una carica puntiforme Q posta in un punto dello spazio vuoto e una seconda carica q di massa 12 grammi si trova a 3 metri dalla carica Q. Sapendo che la carica q lasciata libera comincia a muoversi con una accelerazione di 4m/s^-2 determinare il valore della carica q.

Esempio 3.1.- Il flusso del campo elettrico e il teorema di Gauss.- Due cariche puntiformi q_1 e q_2 si trovano nel vuoto a 15 cm di distanza. Quanto vale il campo elettrico nel punto medio tra le posizioni occupate dalle due cariche nell’ipotesi che le cariche q_1 e q_2 siano uguali? E quanto vale il campo E se q_1 = 2q_2?

Esempio 3.2.- In una zona dello spazio vuoto sono presenti 4 cariche elettriche che valgono rispettivamente 1 mC, 2 mC, 3 mC e 4 mC. Se le prime tre cariche sono racchiuse in una superficie S e le ultime due sono racchiuse in una superficie T determinare il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S e attraverso la superficie T.

Esempio 4.1.- Campo elettrico di una distribuzione piana infinita di carica e altri campi elettrici con particolari simmetrie.- Determina l’intensità del campo elettrico attraverso un’area di 5.0 cm^2 di un piano infinito uniformemente carico che contiene 12.4 10^-8 C

Esempio 4.2.- Una sfera omogenea di raggio r = 8 cm genera a una distnza di 20 cm dal suo centro un campo elettrico di 2,4 10^ N/C. Determina la carica contenuta nella sfera. Inoltre, nell’ipotesi che la sfera fosse immersa in un mezzo con epsilon_r = 2,6 quale sarebbe la carica contenuta nella sfera?

Esempio 4.3.-

Esempio 5.1.- Energia potenziale elettrica potenziale elettrico e superfici equipotenziali.- Due cariche puntiformi rispettivamente di 2 mC e – 4 mC si trovano ad una distanza di 12, 5 dm nel vuoto. Scegliendo secondo le convenzioni internazionali lo zero calcolare l’energia potenziale del sistema formato dalle due cariche.

Esempio 6.1.- Campo elettrico dedotto dal potenziale

Esempio 7.1.- Circuitazione del campo elettrico

Esempio 8.1.- Capacità di un conduttore e condensatori in serie e parallelo.- Due condensatori, di capacità C_1 e C_2, sono connessi in parallelo e la loro capacità equivalente misura 300 pF. Quando sono posti in serie la loro capacità equivalente è di 50 pF. Quanto valgono le due capacità?

Esempio 8.2.-Due condensatori, di capacità C1 e C2, sono connessi in parallelo e la loro capacità equivalente misura 9 micro F. Quando sono posti in serie la loro capacità equivalente è di 2 micro F. Quanto valgono le due capacità?

Esempio 8.3.- Un condensatore piano è realizzato con due lastre circolari di raggio 11,0 cm poste, in aria, a una distanza di 2,50 mm. Il campo elettrico tra le armature è di 8,02 10^4 V/m. Determinare la capacità del condensatore, la carica di ciascuna armatura e la differenza di potenziale tra le armature

Tratto da “L’ Amaldi per i licei scientifici.blu” – Zanichelli

Esempio 8.4.- Determinare la capacità del condensatore $\displaystyle C_{x}$ in modo che il sistema di condensatori piani indicati in figura  sia equivalente ad un condensatore  di capacità totale \[C_{Tot}=2,40\mu F\] sapendo che \[C_{1}=2,00\mu F,\, C_{2}=1,25\mu F,\, C_{3}=1,75\mu F,\, C_{4}=6,00\mu F\].

[ Tratto da “L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Zingarelli Editore. Esercizio N.1 pag. 764 ]

Risoluzione

La capacità equivalente dei condensatori $\displaystyle C_{2}$ e $\displaystyle C_{3}$ , in parallelo, vale \[C_{e}=C_{2}+C_{3}\Rightarrow C_{e}=1,25\mu F+1,75\mu F=3\mu F\]

quella dei condensatori $\displaystyle C_{1}$ e $\displaystyle C_{e}$ in serie vale:

\[\frac{1}{C^{\, ‘}_{e}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{e}}\Rightarrow C^{\, ‘}_{e}=\frac{C_{1}\cdot C_{e}}{C_{1}+C_{e}}\Rightarrow C^{\, ‘}_{e}=\frac{2\cdot 3}{2+3}=\frac{6}{5}\mu F=1,2\mu F\]

Per determinare $\displaystyle C_{x}$ bisogna dunque risolvere il sistema

\[\left\{\begin{matrix} C^{”}_{e}& =C^{‘}_{e}+C_{x}\\ \frac{1}{C_{Tot}} & =\frac{1}{C_{4}}+\frac{1}{C^{”}_{e}} \end{matrix}\right.\]

Si ricava C” e dalla seconda equazione e si sostituisce nella prima e si ha: \[C_{x}=C^{”}_{e}-C^{‘}_{e}=4-1,2=2,80\mu F\]

Esempio 8.5.- Del sistema di condensatori riportati in figura si sa che $\displaystyle C_{1}$ = 350pF, $\displaystyle C_{2}$ = 520 pF, $\displaystyle C_{3}$ = 230 pF e $\displaystyle \Delta V_{AB}=1,50kV$.
Calcolare la capacità equivalente. Determinare inoltre la carica su ciascuna  condensatore e la differenza di potenziale ai capi di ognuno di essi.

Tratto da “L’ Amaldi per i licei scientifici.blu” – Zanichelli

Esempio 8.6.- Una particella di carica q e massa m viene lasciata libera da un punto P posto a metà tra le facce di un condensatore piano mantenute a una differenza di pontenziale costante. I valori numerici sono: d = 10cm ; m = 1,0mg; q = 1,0 uC; V=1,0V. A quale distanza in verticale(h) dal punto P deve essere praticato un foro su una faccia del condensatore in modo che la particella carica ci passi attraverso. ( Problema assegnato alle Olimpiadi di Fisica)

Risoluzione 

Tra le facce del condensatore il campo elettrico è costante nello spazio e quindi si ha $\displaystyle E=\frac{V}{d}$, mentre sulla carica agiscono la forza peso verso il basso e la forza dovuta al campo elettrico.
Sull’asse delle x la carica avrà accelerazione pari ad $\displaystyle a=\frac{q\cdot V}{m\cdot d}$ e quindi possiamo ricavare il tempo che impiega per raggiungere la faccia del condensatore; nello stesso tempo la carica percorrerà uno spazio in verticale con accelerazione g e quindi si ha:

$\displaystyle h=\frac{m\cdot g\cdot d^{2}}{q\cdot V}\rightarrow h=4,9\, cm$

Esempio 9.1.- La corrente e le leggi di Ohm e resistenze in serie e parallelo.- Due resistori, di resistenza R1 e R2, sono connessi in parallelo e la loro resistenza equivalente misura 70 kΩ. Quando sono posti in serie la loro resistenza equivalente è di 300 kΩ. Quanto valgono le due resistenze?

Suggerimento: Occorre mettere a sistema…

Esempio 9.2.- Una fibra nervosa (assone) può essere considerata, in prima approssimazione, come un lungo cilindro. Se il suo diametro è di 10 micro m e la sua resistività è 1.6 Ω m, quanto vale la resistenza di una fibra lunga 0,55 m?

Esempio 9.3.- Una resistenza da 180 Ω e una da 360 Ω sono collegate in parallelo fra loro e in serie con una terza resistenza da 220 Ω. Qual è la resistenza equivalente del circuito?

Esempio 10.1.- Circuiti e leggi di Kirchhoff.-

 

Esercizi svolti di elettromagnetismo

Esempio 1.1.- Legge di Ampere

Esempio 2.1.- Valore del campo magnetico

Esempio 3.1.- Filo percorso da corrente

Esempio 4.1.- Spira circolare

Esempio 5.1.- Solenoide e momento magnetico di una spira

Esempio 6.1.- Forza di Lorentz.- Un protone si muove in un campo magnetico uniforme di intensità pari a 2,0 10^-2 tesla, in direzione perpendicolare a quella del campo magnetico. Sapendo che sul protone agisce una forza di modulo pari a 2.0 10^-6 N determinare la velocità del protone.

Esempio 6.2.-

Esempio 7.1.- Flusso del campo magnetico.- Una bobina costituita da 20 spire di raggio 3,0 cm viene immersa in un campo magnetico di intensità pari 0,6 10^-2 Tesla in modo che la superficie delle spire sia perpendicolare alla direzione delle linee del campo. Successivamente la bobina ruota di 90 gradi. Determinare la variazione di flusso del campo magnetico attraverso la bobina.

Esempio 7.2.- Un solenoide lungo 74,35 cm è percorso da una corrente di 4,23 ampere (A) e genera al suo interno un campo magnetico B. Sapendo che ogni spira del solenoide ha area di 25,0 cm^2 e che il flusso del campo magnetico attraverso la superficie trasversale del solenoide stesso è di 11,55 10^-6 Wb (Weber), determinare il numero di spire del solenoide.

Risoluzione
Prima calcoliamo il campo magnetico con la formula inversa del flusso, poi il numero N di spire del solenoide mediante la formula inversa del campo magnetico.

Esempio 8.1.- Circuitazione del campo magnetico.  Un filo rettilineo di lunghezza infinita è percorso da una corrente di 6 10^-1 ampere. Calcolare l’intensità del campo magnetico in un punto P distante 2,5 mm dal filo. Calcolare l’intensità del campo anche a 2 cm dal filo.

Esempio 8.2.- Ai vertici di un triangolo ABC sono collocati tre lunghi conduttori cilindrici paralleli percorsi da correnti elettriche (vedi figura). Sapendo che in C il verso della corrente è entrante nella pagina e in A e B è uscente determinare la circuitazione del campo magnetico lungo il percorso rettangolare di contorno L e lungo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC. Si assuma come valori delle correnti valori a piacere.

Esempio 8.3.- Tre fili di lunghezza L = 2,0m e distanti tra loro d = 2,0 cm sono percorsi dalle correnti i1, i2 e i3. I fili sono concatenati al cammino orientato gamma come in figura. Sapendo che la circuitazione del campo magnetico lungo gamma è zero determinare le correnti i1, i2 e i3 sapendo che la forza tra il filo 1 e 2 è di 2,0 N e che quella tra il filo 2 e 3 è di 8 N.

Risoluzione

Bisogna scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite. Assumiamo come incognite le tre correnti e dal teorema di Gauss per il campo magnetico si ottiene una prima equazione nelle tre incognite, poi mediante le forze tra i fili si ottengono altre due equazioni nelle stesse incognite, da mettere a sistema con la prima…

Esempio 9.1.- Teorema di Ampere

Esempio 10.1.- Legge di Faraday-Neumann e legge di Lenz.-

Esempio 11.1.- Induttanza e coefficiente di autoinduzione e legge di Faraday-Neumann per l’autoinduzione

Esempio 12.1.- Energia e densità di energia del campo magnetico

Esempio 13.1.- Corrente del circuito RL

Esempio 14.1.- Forza elettromotrice alternata, corrente alternata circuiti e trasformatore, impedenza in un circuito RLC in serie