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Misurazioni ed errori di misura

In ogni misura vi possono essere due tipi di errori:

  • Errori sistematici: sono gli errori dovuti ad un difetto dello strumento, a una errata taratura dello strumento, ad una risposta lenta dello strumento nell’atto di misurare, oppure al fatto che lo strumento modifica la grandezza da misurare nell’atto di misurarla.
    Questo tipo di errore è sempre dello stipo (sempre per difetto sempre per eccesso) e sono errori prevedibili. Lo sperimentatore deve sempre avere l’obiettivo di eliminarli o di renderli poco influenti, anche se non è sempre tecnicamente facile.
  • Errori accidentali (o casuali): sono gli errori dovuti a cause accidentali, imprevedibili, a disturbi che influiscono sulla grandezza da misurare, sullo sperimentatore o sullo strumento adoperato per misurare. Questi errori non si possono eliminare.

Dato che tutte le misure sono affette da errori, non ha senso cercare il valore esatto di una grandezza, ma solo quello più probabile. Inoltre, nel comunicare una misura è necessario associarle anche un errore.

Se indichiamo con \[\overline{X}\] il valore di una misurazione e con \[\Delta x\]
incertezza dello strumento per esprimere la misurazione fatta scriveremo:
\[X=\overline{X}\pm \Delta x\]
ove l’incertezza Dx è il valore più piccolo che lo strumento permette di leggere (sensibilità dello strumento) e si dice anche errore assoluto. Si suole anche dire che il valore della misurazione fatta appartiene all’intervallo:

\[\left [ \overline{X}-\Delta x,\, \, \overline{X}+\Delta x \right ]\]

o anche

\[\overline{X}- \Delta x<X<\overline{X}+ \Delta x\]

Esercizio N 1.- Se misuriamo un intervallo di tempo con un cronometro al secondo e otteniamo 45 secondi, per indicare la misurazione fatta dell’intervallo temporale dobbiamo scrivere:

45 sec ± 1 sec

il che significa che il valore della misurazione fatta si trova sicuramente nell’intervallo:

44 sec < t < 46 sec     o anche       [44 sec, 46 sec]

Se avessimo fatto la stessa misurazione con un cronometro al decimo di secondo avremmo scritto

45 sec ± 0,1 sec

il che avrebbe significato che il valore della misurazione si trova tra:

44,9 sec < t < 45,1 sec

Esercizio N 2.- Se misuriamo una lunghezza con un metro su cui si leggono i millimetri e se il valore misurato della lunghezza in esame è 7,845 metri dobbiamo scrivere:

7,845 m ± 0,001 m

il che significa che il valore della misurazione fatta si trova sicuramente nell’intervallo:

7,844 m < t < 7,846 m

Serie di misurazioni
Quando si eseguono più misurazioni di una stessa grandezza si ottengono valori differenti dovuti proprio agli errori di misura.
Siano allora\[x_{1},x_{2},…,x_{n}\]
i risultati di n misurazioni della stessa grandezza.
In tal caso si sceglie come valore più probabile della misura della grandezza misurata la media aritmetica delle misure fatte.
Si ha:

\[\overline{X}\pm \Delta x\]

ove

\[\overline{X}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+…+x_{n}}{n}\]

è la media aritmetica delle misure fatte e rappresenta il valore che meglio approssima il valore vero (non determinabile) della grandezza, ossia è il valore più attendibile; mentre per l’incertezza Dx si può assumere la semidispersione assoluta (errore assoluto):

\[\Delta x=\frac{x_{max}-x_{min}}{2}\]

ove xmax è il valore più grande delle n misurazioni fatte e xmin il valore più piccolo.

Un altro modo di esprimere l’incertezza nel caso di un alto numero di misurazioni eseguite è quello di utilizzare l’errore quadratico medio, o deviazione standard:

\[\delta =\sqrt{\frac{\left ( x_{1}-\overline{X} \right )^{2}+\left ( x_{2}-\overline{X} \right )^{2}+…+\left ( x_{n} -\overline{X}\right )^{2}}{n}}\]

ove \[x_{i}-\overline{X},\, \, \, \forall i=1,2,…,n\]
sono gli scarti dalla media. In tal caso scriveremo: \[X=\overline{X}\pm \delta\]