Fasci di rette nel piano

Esempio 1.- Dato il fascio di rette di equazione \[\left ( k-1 \right )x-\left ( k-2 \right )y+k-3=0\] determinare le rette generatrici e il centro se esiste.

Non sai risolvere l’esercizio? Allora vedi il mio video su Youtube

Esempio 2.- Dato il fascio di rette $\displaystyle x-\left ( 2k-3 \right )y+k=0$  determinare:

a) La retta del fascio parallela all’asse y;
b) la retta del fascio parallela alla retta x + 3y – 1 = 0
c) la retta del fascio passante per l’origine O del sistema di riferimento
d) la retta del fascio passante per il punto P (-2, 3)
e) la retta perpendicolare alla retta d’equazione 2x – y = 1.

Risoluzione ragionata del punto a)

Il fascio genera una retta parallela all’asse y se il coefficiente b = 2k – 3 del fascio è zero. Quindi…

Esempio 3.- Dato il fascio di rette $\displaystyle mx-\left ( m+1 \right )y+m+5=0$ determinare:
a) La retta del fascio parallela all’asse x;
b) la retta del fascio passante per il punto $\displaystyle A\left ( \frac{1}{2},-4 \right )$;
c) la retta del fascio che interseca gli assi cartesiani e forma con l’origine O un triangolo di area 7;
d) la retta del fascio che interseca gli assi cartesiani e forma con l’origine O un triangolo di perimetro 23/2.

Esempio 4.- Date le rette $\displaystyle r)\, x-3y+7=0,\, \, \, \, s)2x-y-1=0$ determinare
a) l’equazione del fascio di rette generato da r ed s;
b) il centro del fascio;
b) la retta del fascio che passa per l’origine O del riferimento;
d) la retta del fascio perpendicolare alla retta y = – 2x + 1.

Esempio 5.- Dato il fascio di rette di equazione $\displaystyle 3x-2y+1+k(x-y)=0$ determinare
a) le rette generatrici;
b) il centro del fascio;
b) la retta del fascio che passa per A(1,1);
d) la retta del fascio perpendicolare alla retta y = x – 1.

Esempio 6.- Dato il fascio di rette di equazione $\displaystyle x(3-2k)+y(k-1)=k+2$ determinare:
a) le rette generatrici;
b) il centro del fascio;
b) la retta del fascio che passa per A(0,2);
d) la retta del fascio parallela alla retta y – 2x – 1.=0

Esempio 7.- Vedi un altro problema sul mio canale Youtube

Esempio 8.- Dato il fascio di rette di equazione $x(2+k)+y(1-k)-3(k+1)=0$ determinare:

a) le rette generatrici;
b) il centro del fascio;
c) la retta del fascio che forma con gli assi cartesiani un triangolo di area 9/4;
d) la retta del fascio perpendicolare all’asse del segmento di estremi A(-1,1) e B(0,4).

Risoluzione ragionata del punto c)

Bisogna trovare prima di tutto i punti d’intersezione, P e Q, del fascio con gli cartesiani, mettendo a sistema il fascio prima con x = 0 (asse y) e poi con y = 0 (asse x); tali punti d’intersezione potranno dipendere dal parametro k. Quindi si calcolano la base e l’altezza del triangolo rettangolo POQ e quindi l’area S(k) funzione del parametro k. Per determinare k si impone che l’area S(k) sia uguale a 9/4. Ora tocca a Te, io sono stanco e vado a dormire…

Esempio 9.- Dato il fascio di rette di equazione $2x+3y-5(2k -1 )=0$ determinare:

a) le rette generatrici;
b) il centro del fascio se esiste;
c) stabilire se è un fascio proprio o improprio;
d) determinare l’equazione della retta del fascio che passa per l’origine O;
e) determinare la retta del fascio con ordinata all’origine q = 8;
f) determinare la retta del fascio che nel primo quadrante forma con gli assi cartesiani un triangolo area 8.

Esempio 10.- Dato il fascio di rette di equazione $x+y+k(x-y)=0$ determinare:

a) determinare il valore di k per il quale il fascio passa per l’origine O;
b) determinare il valore del parametro k per il quale il fascio abbia centro nel punto (-1,-7);
c) stabilire se il fascio è proprio o improprio.