La funzione f(x,y) si dice differenziabile nel punto $\displaystyle \left ( x_{0},y_{0} \right )$ se è parzialmente derivabile nel punto $\displaystyle \left ( x_{0},y_{0} \right )$ rispetto ad x e ad y e se la funzione \[\sigma=\Delta f -\left [ f’_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\Delta x+ f’_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\Delta y\right ]\]
è infinitesima di ordine superiore rispetto a \[\sqrt{\left ( \Delta x \right )^{2}+\left ( \Delta y \right )^{2}}\]
ossia
\[\lim_{\begin{matrix} \Delta x\rightarrow 0 & \\ \Delta y\rightarrow 0& \end{matrix}}\frac{\Delta f-\left [f’_{x}\left ( x_{0},y_{0})\Delta x+f’_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right ) \right )\Delta y \right ]}{\sqrt{\left ( \Delta x \right )^{2}+\left ( \Delta y \right )^{2}}}=0\]
In tal caso l’espressione $\displaystyle f’_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\Delta x+f’_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\Delta y$ si dice differenziale totale primo della funzione f(x,y) nel punto $\displaystyle \left ( x_{0},y_{0} \right )$ e si indica con il simbolo df:
$\displaystyle df=f’_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\Delta x+f’_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\Delta y$
e tenuto conto che $\displaystyle dx=\Delta x,\, \, dy=\Delta y$ si ha:
$\displaystyle df=f’_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )dx+f’_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )dy$
e
$\displaystyle \Delta f=df+\sigma$
Se una funzione f(x,y) è differenziabile nel punto $\displaystyle P\left ( x_{0},y_{0} \right )$ allora in tale punto è continua.
Se la funzione f(x,y) definita in un aperto A di $\displaystyle R^{2}$ ammette in A derivate parziali prime continue allora è differenziabile in ogni punto di A.