Crea sito

Particolari problemi con gli insiemi

Presentiamo qui alcuni particolari problemi che si possono svolgere utilizzando la teoria degli insiemi, in particolare i diagrammi di Eulero – Venn e le operazioni con gli insiemi.

Esempio 1.- In una classe di Liceo risulta che:

  • 17 alunni praticano tennis
  • 13 alunni praticano nuoto
  • 5 alunni praticano sia il tennis che il nuoto.

Determinare:
1) Quanti sono gli alunni della classe?
2) Quanti sono gli alunni che non praticano nuoto?
3) Quanti alunni praticano solo nuoto?

Risoluzione

Utilizziamo i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare il problema. Pertano indichiamo con T l’insieme degli alunni che praticano tennis, con N l’insieme degli alunni che praticano nuoto e con $\displaystyle T\cap N$ l’insieme degli alunni che praticano sia nuoto che tennis.
Evidentemente risulta che i tre insieme sono formati dai seguenti elementi:

  • T è composto da 17 alunni
  • N è composto da 13 alunni
  • $\displaystyle T\cap N$ è composto da 5 alunni

Con i diagrammi di Eulero-Venn il problema si rappresenta così:

insieme_2

Intendiamo che 12 è il numero degli elementi dell’insieme T – N, mentre 8 è il numero degli elementi dell’insieme N – T.
In base alla rappresentazione fatta possiamo rispondere alle domande del problema.

1) Quanti sono gli alunni della classe? Risposta: 25.
Motivazione.
Per calcolare gli alunni della classe occorre calcolare il numero di elementi dell’insieme T e N, tenendo conto però che T ed N non sono disgiunti. Si ha:

| $\displaystyle T\cup N$ | = | T | + | N | – | $\displaystyle T\cap N$ | = 17 + 13 – 5 = 25

2) Quanti sono gli alunni che non praticano nuoto? Risposta: 12.
Motivazione.
Per calcolare il numero degli alunni che non praticano nuoto bisogna calcolare il numero degli alunni che praticano solo tennis, cioè bisogna calcolare il numero degli elementi dell’insieme T – N.
Si ha:

| T – N | = | T | – |  | = 17 – 5 = 12

3) Quanti alunni praticano solo nuoto? Risposta: 8.
Motivazione.
Per calcolare il numero degli alunni che praticano solo nuoto bisogna calcolare il numero degli elementi dell’insieme  N – T. Si ha:

| N – T | = | N | – | $\displaystyle T\cap N$ | = 13 – 5 = 8


Esempio 2.- 
In un insieme di 100 persone 7 hanno visitato sia Mosca sia Praga sia Berlino, 27 hanno visitato almeno Mosca e Praga, 12 hanno visitato almeno Mosca e Berlino, 20 hanno visitato solo Berlino, 52 hanno visitato almeno Mosca, 45  hanno visitato almeno Berlino, 3 non hanno visitato nessuna delle 3 città.
Determinare:
1) Quante persone hanno visitato solo Praga?
2) Quante persone hanno visitato almeno Praga?
3) Quante persone hanno visitato Berlino e Praga ma non Mosca?
4) Quante persone hanno visitato Mosca e Praga ma non Berlino?
5) Quante persone hanno visitato Berlino e Mosca ma non Praga?

Risoluzione

Utilizziamo i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare il problema. Pertanto indichiamo con M l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca, con P l’insieme delle persone che hanno visitato Praga e con B l’insieme delle persone che hanno visitato Berlino.
L’insieme delle persone che hanno visitato le tre città sarà indicato con $\displaystyle M\cap P\cap B$.

Rappresentiamo il problema con i diagrammi di Eulero-Venn nel seguente modo, ove si evidenziano i sottoinsiemi che intervengono nel problema: M, P, B ed M1 K, B1, Z, I, H, P1

  • M1  è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Mosca;
  • B1  è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Berlino;
  • P1  è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Praga;
  • Z   è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Mosca e Praga;
  • H   è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Berlino e Praga;
  • K   è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Berlino e Mosca;
  • I   è l’insieme delle persone che hanno visitato Berlino, Mosca e Praga;
  • $\displaystyle Z\cup I$ è l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca e Praga;
  • $\displaystyle K\cup I$ è l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca e Berlino;
  • $\displaystyle H\cup I$ è l’insieme delle persone che hanno visitato Berlino e Praga:

insieme_1

…quindi…

Esempio 3.-  Ad una cena partecipano 90 persone. Finita la cena, ognuno ordina qualcosa tra  dolce caffè, frutta: 28 ordinano solo il dolce, 10  dolce e caffè, 19 dolce e frutta, 3 caffè, frutta e dolce.
I commensali che ordinano solo frutta  sono la metà di quelli che ordinano solo caffè. Nessuno prende solo frutta e caffè. Trovare il numero di coloro che ordinano:
a) frutta;
b) solo dolce e frutta;
c) dolce o frutta;
d) o solo dolce o solo frutta.

Risposta: a) 31; b) 16; c) 78; d) 40

Esempio 4.-  In una stanza ci sono 7 uomini. Dieci persone sono castane di capelli, 10 persone hanno gli occhi scuri, 3 degli uomini sono castani, 4 degli uomini hanno capelli scuri, 5 persone hanno capelli castani e occhi scuri, solo un uomo dai capelli castani ha gli occhi scuri.
Quante donne bionde dagli occhi chiari sono presenti nella stanza?

Risultato 2 donne

Esempio 5.-  Un comune effettua una indagine per conoscere le abitudini dei suoi cittadini. E’ emerso che, su 100 intervistati,, negli ultimie sei mesi:

  • 33 sono andati a teatro;
  • 56 sono andati al cinema;
  • 41 hanno visto mostre;
  • 15 hanno visitato mostre o sono andati a teatro;
  • 13 sono andati a teatro e al cinema;
  • 19 hanno visitato sole mostre;
  • 9 hanno visitato mostre e sono andati a teatro ma non al cinema.

Quanti intervistati non sono andati né a teatro, né al cinema, né hanno visitato mostre?

Risoluzione

La soluzione si stabilisce costruendo le seguenti due figure:

 

Risultato: 5

Esempio 6.- Un pizzaiolo fa un sondaggio tra 350 clienti per stabilire quali pizze piacciono di più tra margherita, verdure e marinara. Ottiene i risultati seguenti

Sapendo che tutti i clienti hanno espresso almeno una preferenza, calcola quante hanno dato la loro preferenza per solo margherita e marinara. Quale pizza ha raggiunto il maggior numero di preferenze ( 126 marinara)

Esempio 7.- Un’indagine commerciale ha fornito i risultati  seguenti relativi alle abitudini a colazione di un campione di 100 persone. Quante persone del campione mangiano solo biscotti? Quante persone non mangiano né biscotti né cereali? ( 42, 22)