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Particolari problemi con gli insiemi

Presentiamo qui alcuni particolari problemi che si possono svolgere utilizzando la teoria degli insiemi, in particolare i diagrammi di Eulero – Venn e le operazioni con gli insiemi.

Esempio 1.- In una classe di Liceo risulta che:

  • 17 alunni praticano tennis
  • 13 alunni praticano nuovo
  • 5 alunni praticano sia il tennis che il nuoto.

Determinare:
1) Quanti sono gli alunni della classe?
2) Quanti sono gli alunni che non praticano nuoto?
3) Quanti alunni praticano solo nuoto?

Risoluzione

Utilizziamo i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare il problema. Pertano indichiamo con T l’insieme degli alunni che praticano tennis, con N l’insieme degli alunni che praticano nuoto e con  l’insieme degli alunni che praticano sia nuoto che tennis.
Evidentemente risulta che i tre insieme sono formati dai seguenti elementi:

  • T è composto da 17 alunni
  • N è composto da 13 alunni
  • è composto da 5 alunni

Con i diagrammi di Eulero-Venn il problema si rappresenta così:

insieme_2

Intendiamo che 12 è il numero degli elementi dell’insieme T – N, mentre 8 è il numero degli elementi
dell’insieme N – T.
In base alla rappresentazione fatta possiamo rispondere alle domande del problema.

1) Quanti sono gli alunni della classe? Risposta: 25.
Motivazione.
Per calcolare gli alunni della classe occorre calcolare il numero di elementi dell’insieme T È N, tenendo conto però che T ed N non sono disgiunti. Si ha:

| T U N | = | T | + | N | – | | = 17 + 13 -5 = 25

2) Quanti sono gli alunni che non praticano nuoto? Risposta: 12.
Motivazione.
Per calcolare il numero degli alunni che non praticano nuoto bisogna calcolare il numero degli alunni che praticano solo tennis, cioè bisogna calcolare il numero degli elementi dell’insieme T – N.
Si ha:

| T – N | = | T | – |  | = 17 – 5 = 12

3) Quanti alunni praticano solo nuoto? Risposta: 8.
Motivazione.
Per calcolare il numero degli alunni che praticano solo nuoto bisogna calcolare il numero degli elementi dell’insieme  N – T. Si ha:

| N – T | = | N | – |  | = 13 – 5 = 8


Esempio 2.- 
In un insieme di 100 persone 7 hanno visitato sia Mosca si a Praga sia Berlino, 27 hanno visitato almeno Mosca e Praga, 12 hanno visitato almeno Mosca e Berlino, 20 hanno visitato solo Berlino, 52 hanno visitato almeno Mosca, 45  hanno visitato almeno Berlino, 3 non hanno visitato nessuna delle 3 città. Determinare:
1) Quante persone hanno visitato solo Praga?
2) Quante persone hanno visitato almeno Praga?
3) Quante persone hanno visitato Berlino e Praga ma non Mosca?
4) Quante persone hanno visitato Mosca e Praga ma non Berlino?
5) Quante persone hanno visitato Berlino e Mosca ma non Praga?

Risoluzione

Utilizziamo i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare il problema. Pertanto indichiamo con M l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca, con P l’insieme delle persone che hanno visitato Praga e con B l’insieme delle persone che hanno visitato Berlino.
L’insieme delle persone che hanno visitato le tre città sarà indicato con .

Rappresentiamo il problema con i diagrammi di Eulero-Venn nel seguente modo, ove si evidenziano i sottoinsiemi che intervengono nel problema: M, P, B ed M1 K, B1, Z, I, H, P1

M1  è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Mosca
B1  è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Berlino
P1  è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Praga
Z   è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Mosca e Praga
H   è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Berlino e Praga
K   è l’insieme delle persone che hanno visitato solo Berlino e Mosca
I   è l’insieme delle persone che hanno visitato Berlino, Mosca e Praga
Z U I  è l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca e Praga
K U I  è l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca e Berlino
H U I  è l’insieme delle persone che hanno visitato Berlino e Praga

insieme_1

Esempio 3.-  Ad una cena partecipano 90 persone. Finita la cena, ognuno ordina qualcosa tra  dolce caffè, frutta: 28 ordinano solo il dolce, 10  dolce e caffè, 19 dolce e frutta, 3 caffè, frutta e dolce.
I commensali che ordinano solo frutta  sono la metà di quelli che ordinano solo caffè. Nessuno prende solo frutta e caffè. Trovare il numero di coloro che ordinano:
a) frutta;
b) solo dolce e frutta;
c) dolce o frutta;
d) o solo dolce o solo frutta.

Risposta: a) 31; b) 16; c) 78; d) 40

Esempio 4.-  In una stanza ci sono 7 uomini. Dieci persone sono castane di capelli, 10 persone hanno gli occhi scuri, 3 degli uomini sono castani, 4 degli uomini hanno capelli scuri, 5 persone hanno capelli castani e occhi scuri, solo un uomo dai capelli castani ha gli occhi scuri.
Quante donne bionde dagli occhi chiari sono presenti nella stanza?

Risultato 2 donne