Per determinare le radici ennesime di un numero complesso \[z=a+ib\]ossia per calcolare \[w=\sqrt[n]{z}\] bisogna scriverlo prima nella forma trigonometrica\[z=\rho \left ( cos\theta +isen\theta \right )\]
e quindi applicare la seguente formula \[w_{k}=\sqrt[n]{\rho }\left ( cos\frac{\theta +2k\pi }{n} +isen\frac{\theta +2k\pi }{n}\right )\] con \[k=0,1,…,n-1\] Dunque ogni numero complesso (o reale) ammette n radici complesse.
Se rappresentiamo tali radici nel piano complesso (Argand Gauss) si ottengono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro l’origine O e raggio \[\sqrt[n]{\rho }\]
Esempio 1.- Calcolare le radici quarte di \[z=1+i\]
Risoluzione
Scriviamo il numero z in forma trigonometrica, osservato che \[\rho =\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},\, \, \, \theta :tan\theta =\frac{1}{1}=1\Rightarrow \theta =45^{\circ}\] si ha:\[z=\sqrt{2}\left ( cos45^{\circ}+isen45^{\circ} \right )\]
Quindi le quattro radici quarte di z si ottengono dalla formula\[w_{k}=\sqrt[4]{\sqrt{2}}\left [ cos\left ( \frac{45^{\circ}+k360^{\circ}}{4} \right )+isen\left ( \frac{45^{\circ}+k360^{\circ}}{4} \right ) \right ]\] per \[k=0,1,2,3\] Quindi le radici quarte sono:
\[w_{0}=\sqrt[8]{2}\left ( cos\frac{45^{\circ}}{4}+i\, sen\frac{45^{\circ}}{4} \right )\] ottenuta per k = 0, mentre le altre si ottengono rispettivamente per k = 1, k=2, k = 3 e sono
\[w_{1}=\sqrt[8]{2}\left ( cos\frac{405^{\circ}}{4}+i\cdot sen\frac{405^{\circ}}{4} \right )=…\]
\[w_{2}=…, w_{3}=…\]
Esempio 2.- Calcolare le radici terze di \[z=-1\]
Esempio 3.- Calcolare le radici quarte di \[z=-i\]
Esempio 4.- Calcolare le radici terze di \[z=2\]