2.1 – 2.2 – 9.3 = 2.3
I seguenti integrali sono particolarmente importanti e dunque è consigliato di ricordali bene.
Esempio 1.1.- Calcolare i seguenti integrali immediati \[\int cotx\, dx,\, \, \int tanx\, dx,\, \, \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}},\, \, \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx\]
Il primo integrale si può calcolare nel seguente modo \[\int cotx\, dx=\int \frac{cosx}{senx}dx=ln\left | senx \right |+c\]
avendo applicato la regola \[\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln\left | f(x) \right |+c\] con f(x = sen x e f ‘(x) = cos x.
Il secondo integrale si può calcolare nel seguente modo \[\int tanxdx=\int \frac{senx}{cosx}dx=-\int \frac{-senx}{cosx}dx=-ln\left | cosx \right |+c\]
avendo applicato la regola precedente per f(x) = cos x e f ‘(x) = -sen x. Il segno meno mancante si introduce sotto il simbolo di integrale moltiplicando e dividendo la funzione integranda per -1.
Il terzo integrale si può calcolare nel seguente modo \[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}\left ( 1-\frac{x^{2}}{a^{2}} \right )}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-\left ( \frac{x}{a} \right )^{2}}}=\int \frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{a} \right )^{2}}}dx=arcsen\frac{x}{a}+c\]
avendo applicato la seguente regola \[\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^{2}}}dx=arcsenf(x)+c\] con f (x ) = x/a e f ‘(x) = 1/a, con a diverso da zero.
Per a = 3 si ha: \[\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=arcsen\frac{x}{3}+c\] mentre per a^2 = 2 si ha \[\int \frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}}=arcsen\frac{x}{\sqrt{2}}+c\]
Il quarto integrale si può calcolare nel seguente modo: \[\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\int \frac{dx}{a^{2}\left ( 1+\frac{x^{2}}{a^{2}} \right )}dx=\frac{1}{a}\int \frac{\frac{1}{a}}{1+\left ( \frac{x}{a} \right )^{2}}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+c\] avendo applicato la seguente regola\[\int \frac{f'(x)}{1+f(x)^{2}}dx=arctanf(x)+c\] con f(x) = x/a e f ‘(x) = 1/a. Per a = 5 si ha \[\int \frac{dx}{25+x^{2}}=\frac{1}{5}arctan\frac{x}{5}+c\] mentre per a^2 = 3 si ha \[\int \frac{dx}{3+x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\frac{x}{\sqrt{3}}+c\]