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Coordinate cartesiane e coordinate polari.

Coordinate cartesiane e Coordinate polari.
1. – Riferimento cartesiano di una retta.

Un sistema di riferimento cartesiano di una retta r è costituito da un punto O di r, un verso v di r e da un segmento, non nullo, u detto unità di misura del riferimento (fig. 1).

retta_ascisse

Il punto O si dice origine del riferimento cartesiano,il verso di percorrenza sinistra-destra della retta ( indicato dalla freccia) si assume come verso positivo, mentre quello opposto ( destra-sinistra) come negativo.
Si dice ascissa x di un punto P (fig. 2) di una retta, sulla quale sia fissato un riferimento cartesiano, la lunghezza
del segmento di estremi O e P misurata rispetto ad u, presa con il segno + ( risp. -) se il punto P segue ( risp. precede) O nel verso positivo.

retta_ascisse2

Per indicare che il numero reale x è l’ascissa del punto P si scrive P(x). L’ ascissa del punto O è zero, tutti i punti a sinistra di O hanno ascissa negativa, mentre quelli a destra positiva.
Il punto U di ascissa x = 1 si dice punto unitario del riferimento cartesiano di una retta.
Infine, ricordiamo che mediante l’introduzione di un riferimento cartesiano su di una retta si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali.

2. – Riferimento cartesiano di un piano.

Un sistema di riferimento cartesiano monometrico[1] ortogonale del piano, denotato con Oxy, è costituito da una coppia di assi x ed y perpendicolari tra loro nel punto O ( detto origine del riferimento ), e da un’unità di misura u.
Gli assi x ed y si dicono rispettivamente asse delle ascisse ( o asse x ) e asse delle ordinate ( o asse y ).
Si dice ascissa x ( risp. ordinata y) di un punto P del piano, sul quale sia fissato un riferimento Oxy, la lunghezza del segmento (fig. 1) aventi per estremi l’origine O e la proiezione del punto P sull’asse x ( risp. y).

piano_carte

Per indicare che il punto P ha coordinate cartesiane x ed y si scrive:\[P\left ( x,y \right )\, \, o\, \, P=\left (x,y \right )\, \, o\, \, P\equiv \left ( x,y \right )\]

Il riferimento Oxy divide il piano in quattro quadranti: i punti del 1° quadrante hanno coordinate positive,
quelli del 3° negative, invece i punti del 2° ( risp. 4° ) quadrante hanno ascissa ( risp. ordinata) negativa e ordinata (risp. ascissa ) positiva.
Le coordinate del punto O sono (0;0), tutti i punti dell’asse x ( risp. y) hanno ordinata ( risp. ascissa) nulla.
Ricordiamo, infine, che mediante l’introduzione di un riferimento Oxy del piano si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali.

3.- Coordinate Polari
Si dice sistema di coordinate polari o riferimento polare del piano l’insieme costituito da un punto O del piano (detto polo), una semiretta orientata x ( detta asse polare) d’origine O, un’unità di misura u e un verso di rotazione v del fascio di semirette di centro O.

Si assume generalmente come positivo il verso di rotazione antiorario.

Si dicono coordinate polari di un punto P ( distinto dal polo O) del piano, in un sistema di coordinate polari (fig. 1), la distanza \[\rho\] di P da O e l’angolo \[\theta\] che la semiretta OP forma, rispetto al verso v, con l’asse polare. Per indicare che il punto P ha coordinate polari \[\rho ,\theta\] si scrive: \[P(\rho ,\theta )\]

Le coordinate polari \[P(\rho ,\theta )\], si dicono rispettivamente modulo o raggio polare e argomento o anomalia di P.

Le coordinate x, y cartesiane di un punto P, in un riferimento cartesiano associato al riferimento polare, note che siano le coordinate polari, si ottengono mediante la seguente formula:\[\left\{\begin{matrix} x &=\rho\, cos\theta \\ y & =\rho\, sen\theta \end{matrix}\right.\]

Le formule inverse sono: \[\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}},\, \, \, \, \theta =arctan\frac{y}{x}\]

o \[tan\, \theta =\frac{y}{x}\]

Osserviamo che l’argomento \[\theta\]
di un punto è determinato a meno di multipli interi di \[2\pi\] e che si dice argomento principale la determinazione di \[\theta\] tale che\[0\leq \theta < 2\pi\]

Se le coordinate x, y di un punto sono entrambe positive o la prima negativa e la seconda positiva l’argomento principale \[\theta \in \left [ 0,\pi \right ]\] mentre \[\theta \in \left ( \pi ,2\pi \right )\] se sono entrambe negative o la prima positiva e la seconda negativa.

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