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Esempio 3.1. Sistemi di secondo grado a tre incognite. Risolvi il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2z^{2} &=3 \\ x-y+z &=0 \\ 2x-3y-z &=2 \end{matrix}\right.\]
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Esempio 4.1.- Sistemi simmetrici. Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix} 6x+6y-4x^{2}-4y^{2} &=-16 \\ xy & =3 \end{matrix}\right.\]
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Esempio 4.2.- Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=9\\ x+y=3 \end{matrix}\right.\]
Esempio 4.3.- Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=29\\ xy=10 \end{matrix}\right.\]
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Esempio 4.4.- Risolvi il seguente sistema simmetrico \[\left\{\begin{matrix}10x+10y+xy & =20 \\3x+3y-7xy & =79 \\\end{matrix}\right.\]
Suggerimento
Moltiplicare la prima equazione per 7 e poi sommare membro a membro le due equazioni così ottenute,…
Risultato: (-2, 5) e (5-2)
Esempio 4.5.- Risolvi il seguente sistema simmetrico di ottavo grado \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=17\\ x^{4}+y^{4}=257 \end{matrix}\right.\]
Suggerimento
Riscrivere la seconda equazione utilizzando l’identità: \[ x^{4}+y^{4}=\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2x^{2}y^{2}\]
Risultato: otto soluzioni reali \[ \left ( \pm 1,\pm 4 \right ),\left ( \pm 4,\pm 1 \right ),\]
Esempio 5.1.- Particolari sistemi di grado superiore al secondo. Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4x-y+2&=0 \\ x^{2}+y^{2}+3x-y-4 &=0 \end{matrix}\right.\]
Suggerimento
Si tratta di un sistema di 4 grado. Per risolvere occorre sottrarre membro a membro le due equazioni, e mettere a sistema l’equazione di primo grado così ottenuta con una delle equazioni del sistema…
Esempio 5.2.- Risolvere il seguente sistema di quarto grado \[\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-5y^{2} &=1 \\ 2x^{2}-y^{2} &=-1 \end{matrix}\right.\]
Esempio 5.3.- Risolvere il seguente sistema di quarto grado \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-3x&=-2 \\ y^{2}-4y&=0 \end{matrix}\right.\]
Esempio 5.4.- Risolvere il seguente sistema di quarto grado \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x-y+y^{2}&=6\\ 3y^{2}-9y&=0 \end{matrix}\right.\]
Esempio 5.5.- Risolvere il seguente sistema di quarto grado \[\left\{\begin{matrix} x(-3y+6)&=0\\ x^{2}+y^{2}-5x-4y+4&=0 \end{matrix}\right.\]
Esempio 6.1- Risolvere il seguente sistema omogeneo.
a) Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 2xy+3y^{2}=0\\ x^{2}+5y^{2}+3xy=11 \end{matrix}\right.\]
b) Risolvere il seguente sistema omogeneo di quarto grado \[\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-11xy+y^{2}=0\\ 2x^{2}+xy-5y^{2}=0 \end{matrix}\right.\]
c) Risolvere il seguente sistema omogeneo di quarto grado \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+2y^{2}=11\\ 2x^{2}-xy+y^{2}=4 \end{matrix}\right.\]
Esempio 6.2.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}+4xy+4y^{2}=0\\ x^{2}-xy+3y^{2}=36 \end{matrix}\right.\]
Esempio 6.3.- Risolvere il seguente sistema \[ \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-5+y^{2} &=0 \\x(x-2)y-4y & =0 \\\end{matrix}\right.\]
7. Sistemi che si risolvono con artifici.
Esempio 7.1.- Risolvere il seguente sistema
Esempio 7.2.- Risolvere il seguente sistema