1) A(x) = B(x)Q(x) + R(x)
con Q(x) polinomio di grado n – m e il resto R(x) polinomio di grado minore di m. La (1) è la proprietà fondamentale della divisione.
Esempio 1.1.- Divisione tra un polinomio e un monomio. Eseguire le seguenti divisioni:
\[(2x^{3}-6x^{2}+4x):\left ( 2x \right )\]
\[(x^{4}-7x^{2}-8x):\left ( -3x \right )\]
Risoluzione
Per eseguire la prima divisione bisogna dividere ogni termine del polinomio dividendo per il polinomio divisore:
\[(2x^{3}-6x^{2}+4x):\left (2x \right )=\left [ \left ( 2x^{3} \right ):\left ( 2x \right ) +\left ( -6x^{2} \right ):\left ( 2x \right )+\left ( 4x \right ):\left ( 2x \right )\right ]=x^{2}+\left ( -3x \right )+2=x^{2}-3x+2\]
Esempio 2.1.- Divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado (tipo x -c):
\[(x^{4}-5x^{3}+x^{2}-x+1):\left ( x-1 \right )\]
\[(a^{3}-2a^{2}-a^{4}-a-1):\left ( a+1 \right )\]
Risoluzione
Se il divisore è di primo grado la divisione si può eseguire anche con la Regola di Ruffini. Ora eseguiremo la divisione con entrambi i metodi.
Non sai eseguire la divisione con la Regola di Ruffini? Clicca qui per vedere un nuovo video 2024
Primo metodo.- Uso della Regola di Ruffini.- Per effettuare la divisione $(x^{4}-5x^{3}+x^{2}-x+1):\left ( x-1 \right )$ con tale metodo bisogna disporre i coefficienti del polinomio dividendo nel seguente modo (vedi figura):
il termine noto -1 del polinomio divisore (x – 1) si inserisce come mostrato in figura, ma cambiato di segno (+1).
A questo punto si può eseguire la procedura (vedi figura): si abbassa 1 e si scrive sotto alla linea orizzontale, quindi si moltiplica per +1 e il risultato si incolonna sotto a – 5, quindi si somma per colonne ( -5 + 1 = – 4) e il – 4 si scrive sotto la linea orizzontale, si moltiplica – 4 per il +1 e il risultato – 4 si incolonna sotto a + 1, quindi si somma per colonne (+1 – 4 = -3), il -3 si moltiplica per +1 e il risultato – 3 si incolonna sotto a -1 e si somma per colonne ottenendo – 4. Infine, si moltiplica tale – 4 per +1 e il risultato si scrive dopo la seconda linea verticale sotto a +1 e si somma per colonne (+1 – 4= -3) e il risultato si scrive a destra della linea verticale e sotto la seconda linea orizzontale.
In definitiva il resto è R(x) = -3 e il polinomio quoziente è $\displaystyle Q(x)=x^{3}-4x^{2}-3x-4$. Osserviamo che il quoziente è di terzo grado in quanto il dividendo è di 4 grado, e la divisione per un binomio di primo grado abbassa di una unità il grado del quoziente.
Esempio 2.2.- Divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado (tipo ax – b). Calcolare quoziente e resto della divisione\[(12y^{3}+36y^{2}-38y+42):(2y+8)\]
Risoluzione
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Esempio 2.3.- Calcolare quoziente e resto della divisione\[(12x^{3}-54x^{2}+21x-3):(3x-12)\]
Esempio 2.4.- Esegui la divisione \[(5x^{6}-2x^{5}-5x^{2}+7x-2):(5x-2)\]
Esempio 2.5.- Calcolare quoziente e resto della divisione\[(x^{2}-2x^{5}-3x^{2}+2x-1):(-x-2)\]
Esempio 2.6.- Esegui la seguente divisione rispetto alla lettera a:\[(a^{3}+2a^{2}b-4ab^{2}-8b^{3}):(a+2b)\]
Esempio 2.7.- Esegui la seguente divisione rispetto alla lettera b:\[(a^{3}+2a^{2}b-4ab^{2}-8b^{3}):(a+2b)\]
Secondo metodo. Divisione con l’ordinaria regola della divisione.-
Esempio 3.1.- Divisione tra due polinomi:
\[(x^{4}-x^{3}-3x^{2}-2x-1):\left ( x^{2}+x-1 \right )\]
\[(x^{3}-2x^{2}-x+2):\left ( x^{2}-x+3 \right )\]
\[13047:203\]
Risoluzione
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Per eseguire la divisione tra due polinomi conviene disporli nel seguente modo (vedi figura):
Notiamo che la divisione tra polinomi è la stessa regola che si utilizza per effettuare la divisione elementare tra due numeri. A tal proposito provare a fare la seguente divisione 45864 : 234 con il metodo indicato.
Ricordiamo di scrivere il dividendo e il divisore in forma polinomiale con x = 10 e poi eseguire le due divisioni:
\[(4x^{4}+5x^{3}+8x^{2}+6x+4):(2x^{2}+3x+4)\]
e
\[(4\cdot 10^{4}+5\cdot10^{3}+8\cdot10^{2}+6\cdot10+4):(2\cdot10^{2}+3\cdot10+4)\]
Esempio 3.2.- Divisione tra due polinomi:
\[(x^{4}+3x^{2}-4):(x^{2}-2)\]
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\[(3x^{3}-5x^{2}+4x+2):(x-3)\]