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Area di un triangolo e dei poligoni inscritti e circoscritti

Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.
Quando un poligono è inscritto in una circonferenza, il centro della circonferenza coincide con il circocentro del poligono (punto d’incontro degli assi del poligono).

Un poligono è circoscritto in una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Quando un poligono è circoscritto in una circonferenza, il centro della circonferenza coincide con l’incentro del poligono (punto d’incontro delle bisettrici degli angoli del poligono).

In un poligono regolare circocentro e incentro coincidono (fig. 3) e  ogni poligono regolare ammette una circonferenza inscritta e circoscritta. Il raggio R (fig. 1) della circonferenza inscritta è detto apotema del poligono e rappresenta la distanza di ogni lato dal centro.

 

Altri poligoni:

  • I triangoli sono sempre sia inscrivibili (circocentro) e circoscrivibili (incentro).
  • I rettangoli sono sempre inscrivibili (circocentro) ma non circoscrivibili.
  • I rombi sono sempre circoscrivibili (incentro) ma non inscrivibili.
  • I trapezi isosceli sono sempre inscrivibili (circocentro) in una circonferenza.

Area di un triangolo 
L’area S di un triangolo ABC inscritto in una circonferenza, cioè con i vertici sulla circonferenza, di raggio R (fig. 1) si può calcolare con la seguente formula \[S=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot sen\, \theta\]

Formula di Erone
L’area S di un triangolo (fig. 1) si può calcolare con la formula di Erone \[S=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}\] con p semiperimetro.

Area di un triangolo inscritto in una circonferenza
L’area S di un triangolo inscritto in una circonferenza di raggio R (fig. 1) si può calcolare con la seguente formula \[S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}\]

Area di un triangolo circoscritto ad una circonferenza
L’area S di un triangolo circoscritto ad una circonferenza di raggio r e semiperimetro p (fig. 2) si può calcolare con la seguente formula \[S=r\cdot p=\frac{r}{2}\left ( a+b+c \right )\]

Area e perimetro dei poligoni regolari inscritti e circoscritti ad una circonferenza
a)
L’area S e il perimetro P del poligono di n lati circoscritto alla circonferenza di raggio R (fig. 1) si determinano con le seguenti formule rispettivamente: \[\begin{matrix} S&=\frac{1}{2}\cdot n\cdot R^{2}\cdot sen\left ( \frac{360^{\circ}}{n} \right ) \\ & \\ P&=2\cdot n\cdot R\cdot sen\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right ) \end{matrix}\]

b) L’area S e il perimetro P del poligono di n lati inscritto nella circonferenza di raggio r (fig. 2) si determinano con le seguenti formule rispettivamente: \[\begin{matrix} S&= n\cdot r^{2}\cdot tan\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right ) \\ & \\ P&=2\cdot n\cdot r\cdot tan\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right ) \end{matrix}\]

Area di un poligono non regolare circoscritto ad una circonferenza

\[A=p\times r\]

$\displaystyle p=\frac{a+b+c+d}{2}$ è il semiperimetro del poligono e r il raggio della cinconferenza inscritta nel poligono.